Obligando a la cardinalidad de un conjunto

Question

Estoy estudiando Sela de la prueba (en realidad escrito por Uri Abraham) que la adición de un genérico real implica la existencia de un Suslin árbol (disponible en este enlace, creo que libremente para todo el mundo.)

La idea de forzar a es el conjunto finito de funciones de$\omega$$\omega$, con más de ser "extender", entonces podemos construir un árbol en $\omega_1$ mediante la definición de algunas funciones mediante el uso de las funciones, y asegurar que el resultado nos da un árbol de Suslin.

En un punto, el argumento es que si $X$ es un incontable anti-cadena en el árbol (en la extensión genérica, por supuesto), entonces no existe $p$ tal que $p\Vdash X$ es un incontable anti-cadena.

Entonces, dice, se puede encontrar $q$ más fuerte que el $p$ que $Y=\{\alpha | q\Vdash\alpha\in X\}$ es incontable.

Esa última declaración es claro para mí. Estoy sintiendo que esto es algo relativamente simple como una caja de argumento, pero estoy seguro de cómo deducir.

Answer 1

Considere la posibilidad de un fijo extensión genérica obtenida por un genérico donde $p$ pertenece. Tenemos que $X$ es incontable. Para cada una de las $\alpha\in X$ hay $q\in G$ que $V$ fuerzas de $\alpha\in X$. Podemos suponer $q\le p$, ampliando si es necesario. Esto demuestra que $A_\alpha=\{q\mid q\le p\land q$ fuerzas en $V$ que $\alpha\in X\}$ es no vacío para cada una de las $\alpha\in X$. Desde Cohen obligando a es contable, el mismo $q$ debe ser en una cantidad no numerable de estos $A_\alpha$, y hemos terminado.

Hay otra manera de presentar el argumento de que evita hablar sobre obligando a las extensiones: Para cada una de las $q\le p$ deje $A_q$ el conjunto de $\alpha$ que $q$ fuerzas para estar en $X$. Si cada una de las $A_q$ es contable, entonces (de nuevo, porque Cohen obligando a es contable) hay un $\alpha$ de manera tal que cualquier ordinal obligados a estar en $X$ por una condición de extender $p$ debe ser estrictamente por debajo de $\alpha$. Pero, a continuación, $p$ sí debe forzar $X$ a de estar contenido en $\alpha$, contradiciendo que las fuerzas p $X$ a ser innumerables.