Ahora es un buen momento para hacer una rápida incursión en la versión teórica ideal de Sun-Ze (más conocida como el Teorema Chino del Resto). Sea $R$ sea un anillo conmutativo con $1$ y $I,J\triangleleft R$ ideales coprimos, es decir, ideales tales que $I+J=R$ . Entonces
$$\frac{R}{I\cap J}\cong\frac{R}{I}\times\frac{R}{J}.$$
En primer lugar, recuperemos la comprensión habitual de SZ a partir de esta afirmación, y luego la demostraremos. Gracias a la identidad de Bezout, $(n)+(m)={\bf Z}$ si $\gcd(n,m)=1$ por lo que la hipótesis es claramente análoga. Además tenemos $(n)\cap(m)=({\rm lcm}(m,n))$ . Como $nm=\gcd(n,m){\rm lcm}(n,m)$ , si $n,m$ son coprimas, entonces calcula la intersección $(n)\cap(m)=(nm)$ . Por lo tanto, tenemos ${\bf Z}/(nm)\cong{\bf Z}/(n)\times{\bf Z}/(m)$ . Claramente la inducción y el teorema fundamental de la aritmética (factorización única) dan la versión algebraica general de SZ, la descomposición ${\bf Z}/\prod p_i^{e_i}{\bf Z}\cong\prod{\bf Z}/p_i^{e_i}{\bf Z}$ .
(No voy a explicar cómo se relaciona esta versión algebraica de SZ con la versión elemental-teórica de los números que implica la existencia y la unicidad de las soluciones de los sistemas de congruencias).
Sin embargo, sin la coprimalidad, hay contraejemplos. Por ejemplo, si $p\in\bf Z$ es primo, entonces los anillos finitos ${\bf Z}/p^2{\bf Z}$ y ${\bf F}_p\times{\bf F}_p$ (donde ${\bf F}_p:={\bf Z}/p{\bf Z}$ ) no son isomorfos, en particular ni siquiera como grupos aditivos (el producto no es un grupo cíclico bajo adición).
Aquí está la prueba. Definir el mapa $R\to R/I\times R/J$ por $r\mapsto (r+I,r+J)$ . El núcleo de este mapa es claramente $I\cap J$ . Es basta con para demostrar que este mapa es suryente para establecer la afirmación. Sabemos que $1=i+j$ para algunos $i\in I$ , $j\in J$ desde $I+J=R$ y así sabemos además que $1=i$ mod $J$ y $1=j$ mod $I$ Así que $i\mapsto(I,1+J)$ y $j\mapsto(1+I,J)$ pero estos dos últimos elementos generan toda la $R/I\times R/J$ como $R$ -módulo por lo que la imagen debe ser todo el codominio.
Ahora vamos a trabajar con ${\cal O}={\bf Z}[i]$ el anillo de enteros de ${\bf Q}(i)$ , también conocidos como los enteros de Gauss. Aquí se ha encontrado que $(2)=(1+i)(1-i)=(1+i)^2$ (ya que $1-i=-i(1+i)$ y $-i$ es una unidad), que el ideal $(3)$ es primo, y que $(5)=(1+2i)(1-2i)$ . Además $(1+i)$ no es obviamente coprima a sí misma, mientras que $(1+2i),(1-2i)$ son coprimos ya que $1=i(1+2i)+(1+i)(1-2i)$ está contenida en $(1+2i)+(1-2i)$ . Alternativamente, $(1+2i)$ es primo y también lo es $(1-2i)$ pero no son iguales por lo que son coprimos. De todos modos, tienes
- ${\bf Z}[i]/(3)$ es un campo y
- ${\bf Z}[i]/(5)\cong{\bf Z}[i]/(1+2i)\times{\bf Z}[i]/(1-2i)$ es un producto de campos.
Cuente el número de elementos para ver de qué campos se trata. Sin embargo, ${\bf Z}[i]/(2)={\bf Z}[i]/(1+i)^2$ no es un campo ni un producto de campos, aunque el hecho de que su característica sea prima (dos) puede despistar. En ${\bf Z}[i]/(1+i)^2$ el elemento $1+i$ es nilpotente. Como este anillo es de orden cuatro, no es difícil comprobar que es isomorfo a ${\bf F}_2[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ que no es un producto de campos ya que $\epsilon\leftrightarrow 1+i$ es nilpotente y los productos de campos no contienen nilpotentes no nulos.
