Anillos de cocientes de enteros gaussianos $\mathbb{Z}[i]/(2)$ , $\mathbb{Z}[i]/(3)$ , $\mathbb{Z}[i]/(5)$ ,

Question

Estoy estudiando para un examen de calificación de álgebra y me encontré con el siguiente problema.

Dejemos que $R$ sea el anillo de enteros gaussianos. De los tres anillos cotizados $$R/(2),\quad R/(3),\quad R/(5),$$ uno es un campo, otro es isomorfo a un producto de campos, y otro no es ni un campo ni un producto de campos. ¿Cuál es cuál y por qué?

Sé que $2=(1+i)(1-i)$ y $5=(1+2i)(1-2i)$ Así que ni $(2)$ ni $(5)$ es un ideal primo de $R$ . Entonces (creo) estas mismas ecuaciones en $R/(2)$ y $R/(5)$ respectivamente, demuestran que ninguno de los dos es un dominio integral. Sin embargo, puedo demostrar que 3 es un primo de Gauss, por lo tanto $(3)$ es máxima en $R$ y $R/(3)$ es el campo. Pero si estoy en lo cierto en cuanto a que los otros no son dominios integrales, no veo cómo cualquiera de ellos podría ser un producto de los campos.

Espero que esto pueda ser respondido fácil y rápidamente. Gracias.

Answer 1

¿Por qué no piensas primero en el caso de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ . ¿Cuándo es un campo? ¿Cuándo es un producto de campos? ¿Cuándo no es ninguna de las dos cosas? Intenta relacionar tu respuesta con la factorización de $n$ y el Teorema del Resto Chino. Ahora ve si puedes generalizarlo a $\mathbb Z[i]$ (o a cualquier PID).

Answer 2

Ahora es un buen momento para hacer una rápida incursión en la versión teórica ideal de Sun-Ze (más conocida como el Teorema Chino del Resto). Sea $R$ sea un anillo conmutativo con $1$ y $I,J\triangleleft R$ ideales coprimos, es decir, ideales tales que $I+J=R$ . Entonces

$$\frac{R}{I\cap J}\cong\frac{R}{I}\times\frac{R}{J}.$$

En primer lugar, recuperemos la comprensión habitual de SZ a partir de esta afirmación, y luego la demostraremos. Gracias a la identidad de Bezout, $(n)+(m)={\bf Z}$ si $\gcd(n,m)=1$ por lo que la hipótesis es claramente análoga. Además tenemos $(n)\cap(m)=({\rm lcm}(m,n))$ . Como $nm=\gcd(n,m){\rm lcm}(n,m)$ , si $n,m$ son coprimas, entonces calcula la intersección $(n)\cap(m)=(nm)$ . Por lo tanto, tenemos ${\bf Z}/(nm)\cong{\bf Z}/(n)\times{\bf Z}/(m)$ . Claramente la inducción y el teorema fundamental de la aritmética (factorización única) dan la versión algebraica general de SZ, la descomposición ${\bf Z}/\prod p_i^{e_i}{\bf Z}\cong\prod{\bf Z}/p_i^{e_i}{\bf Z}$ .

(No voy a explicar cómo se relaciona esta versión algebraica de SZ con la versión elemental-teórica de los números que implica la existencia y la unicidad de las soluciones de los sistemas de congruencias).

Sin embargo, sin la coprimalidad, hay contraejemplos. Por ejemplo, si $p\in\bf Z$ es primo, entonces los anillos finitos ${\bf Z}/p^2{\bf Z}$ y ${\bf F}_p\times{\bf F}_p$ (donde ${\bf F}_p:={\bf Z}/p{\bf Z}$ ) no son isomorfos, en particular ni siquiera como grupos aditivos (el producto no es un grupo cíclico bajo adición).

Aquí está la prueba. Definir el mapa $R\to R/I\times R/J$ por $r\mapsto (r+I,r+J)$ . El núcleo de este mapa es claramente $I\cap J$ . Es basta con para demostrar que este mapa es suryente para establecer la afirmación. Sabemos que $1=i+j$ para algunos $i\in I$ , $j\in J$ desde $I+J=R$ y así sabemos además que $1=i$ mod $J$ y $1=j$ mod $I$ Así que $i\mapsto(I,1+J)$ y $j\mapsto(1+I,J)$ pero estos dos últimos elementos generan toda la $R/I\times R/J$ como $R$ -módulo por lo que la imagen debe ser todo el codominio.

Ahora vamos a trabajar con ${\cal O}={\bf Z}[i]$ el anillo de enteros de ${\bf Q}(i)$ , también conocidos como los enteros de Gauss. Aquí se ha encontrado que $(2)=(1+i)(1-i)=(1+i)^2$ (ya que $1-i=-i(1+i)$ y $-i$ es una unidad), que el ideal $(3)$ es primo, y que $(5)=(1+2i)(1-2i)$ . Además $(1+i)$ no es obviamente coprima a sí misma, mientras que $(1+2i),(1-2i)$ son coprimos ya que $1=i(1+2i)+(1+i)(1-2i)$ está contenida en $(1+2i)+(1-2i)$ . Alternativamente, $(1+2i)$ es primo y también lo es $(1-2i)$ pero no son iguales por lo que son coprimos. De todos modos, tienes

• ${\bf Z}[i]/(3)$ es un campo y
• ${\bf Z}[i]/(5)\cong{\bf Z}[i]/(1+2i)\times{\bf Z}[i]/(1-2i)$ es un producto de campos.

Cuente el número de elementos para ver de qué campos se trata. Sin embargo, ${\bf Z}[i]/(2)={\bf Z}[i]/(1+i)^2$ no es un campo ni un producto de campos, aunque el hecho de que su característica sea prima (dos) puede despistar. En ${\bf Z}[i]/(1+i)^2$ el elemento $1+i$ es nilpotente. Como este anillo es de orden cuatro, no es difícil comprobar que es isomorfo a ${\bf F}_2[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ que no es un producto de campos ya que $\epsilon\leftrightarrow 1+i$ es nilpotente y los productos de campos no contienen nilpotentes no nulos.

Answer 3

Me parece que los cocientes de los anillos de polinomios son más fáciles de razonar algebraicamente que los subcampos de $\mathbb{C}$ .

Porque $\mathbb{Z}[i] \cong \mathbb{Z}[x] / (x^2 + 1)$ podemos hacer aritmética con anillos e ideales. Calculando con más detalle del que suele ser necesario:

$$\begin{align} \mathbb{Z}[i] / (3) &\cong \left( \mathbb{Z}[x] / (x^2 + 1) \right) / (3) \\&\cong \mathbb{Z}[x] / (3, x^2 + 1) \\&\cong \left( \mathbb{Z}[x] / (3) \right) / (x^2 + 1) \\&\cong \left(\mathbb{Z} / (3)\right)[x] / (x^2 + 1) \\&\cong \mathbb{F}_3[x] / (x^2 + 1) \end{align}$$

y así hemos reducido el problema a uno de cocientes de anillos de polinomios sobre el campo finito $\mathbb{F}_3$ .

Answer 4

$\Bbb Z[i]/2\,$ no es un campo o $\color{#c00}{\Pi F}$ (producto de campos), ya que tiene un nilpotente no nulo: $\,(1\!+\!i)^2 = 2i = 0$ .
$\Bbb Z[i]/5\,$ no es un campo por $\,(2\!-\!i)(2\!+\!i)= 5 = 0,\,$ por lo que es el $\color{#c00}{\Pi F},\,$ dejando $\,\Bbb Z[i]/3\,$ como el campo. $\ $ QED