Homogénea polinomios entre espacios vectoriales

Question

Considere la posibilidad de $\mathbb{C}$ espacio vectorial $V$ = span$(e_1,\cdots,e_n)$. Considere el siguiente álgebra de incrustación

$$\mathbb{C}[X_1,\cdots,X_n]\hookrightarrow F(V,\mathbb{C})$$ where $f\mapsto(\sum_i a_i e_i\mapsto f(a_1,\cdots,a_n))$. Denote the image as $O(V)$, call its elements polynomials on $V$. Define a polynomial to be homogeneous of degree $p$ if $f(tv) = t^p f(v)$ for all $v\V$ and $t\in\mathbb{C}$.

Estoy pensando en una manera diferente de la caracterización de los polinomios homogéneos de grado $p$. Considerar el mapa de $i_p:V\to S^p(V)$ envío de $v\mapsto \underbrace{v\otimes\cdots\otimes v}_{p}$, si tenemos alguna lineal mapa de $g:S^p(V)\to \mathbb{C}$, entonces quiero mostrar

1) $g\circ i_p$ es de $O(V)$ (y claramente homogénea de grado p)
2) Cada polinomio homogéneo puede ser obtenida de esta manera.

Está por encima de la verdad, y la forma de mostrar que?

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Si es cierto, entonces puedo generalizar y definir los polinomios homogéneos de grado p de $V$ a un espacio vectorial $W$ el uso de la segunda forma. Definir una función $f$ a ser el polinomio de grado $p$ $V$ $W$si no es lineal mapa de $g:S^p(V)\to W$ tal que $f = g\circ i_p$.

Es lo mismo como todos los de la función de $V$ $W$tal que $f(tv) = t^pf(v)$ todos los $v\in V$$t\in\mathbb{C}$? Y es esta una buena forma de definir el espacio de polinomios homogéneos entre dos espacios vectoriales?

Answer 1

No sé si esa es la respuesta que usted está buscando, pero lo que dices es casi cierto. Si V es un espacio vectorial sobre $\mathbb C$, entonces el (homogéneo) el álgebra de polinomios (de grado p) $V$ se da de forma natural por el (p-th parte) de la simetría de álgebra en la doble vertiente de la $V$.

Puedes probarlo en la siguiente fahsion tiene un natural de emparejamiento $Sym^p(V^*)\times V$ que viene desde el mapa de $V^*\times ...\times V^* \times V$, dado por $(\phi_1,...,\phi_p, v)\mapsto \phi_1(v)...\phi_p(v)$. Este factor hace a través de $Sym^p(V^*)\times V$, e identifica a $Sym^p(V^*)$ con lo que usted llame a $O(V)$, además de sus homogéneo p-th pieza.

Ahora puede parecer una molestia, porque si $V$$\mathbb C^n$, entonces es doble es demasiado... pero la natural (i.e functorial) mapa es el que más me define, y no se requieren para elegir una base de $V$ como lo hizo.