Composición de Funciones Inversas

Question

$f$ $g$ son inversos el uno del otro cuando se $f(g(x)) = x = g(f(x))$. Sin embargo, puede haber 2 funciones de donde $f(g(x)) = x$ pero $g(f(x))$ no es igual a $x$? Me siento como los hay, pero yo no lo encuentro. Podría usted por favor enviar ejemplos de esto?

Answer 1

Mi ejemplo favorito es $g(x)=e^x$ $f(x)=\log(x)$ si $x>0$, pero $f(x)=17$ si $x\le0$. A continuación, $f\circ g$ es la identidad, sino $g\circ f$ $g(f(x))=e^{17}$ si $x\le0$, e $g(f(x))=x$ si $x>0$.

Answer 2

E. g. $\sin$ $\arcsin$ en sus dominios naturales.

Answer 3

He aquí un ejemplo (pero sí tener un poco de cálculo). Deje $f(x),g(x)$ funciones $\mathbb{R}$ definido por \begin{align*} f(x) &= \dfrac{x}{1+|x|} \\ g(x) &= \begin{cases} \frac{x}{1-|x|}\, & |x|<1 \\ 0 & |x|\ge 1 \end{casos}\,. \end{align*} A continuación, $g(f(x))=x$ pero $f(g(x))\neq x$.

Answer 4

Deje $A=\{a\}$$B=\{b,c\}$. Definir $f:A\rightarrow B$$f(a)=b$$g:B\rightarrow A$$g(b)=g(c)=a$. A continuación, $g\circ f=1_A$ pero $f\circ g\neq 1_B$.

Answer 5

Dos funciones f,g son inversas una de la otra en el sentido de que $g(f(x))=x=f(g(x))$ fib f y g son bijections. Si f es una inyección, pero no un bijection , tendrá sólo un 1 cara inversa, mientras que si g no es inyectiva surjection, también será sólo un 1 cara inversa.

Ejemplos: $f: (-\infty, \infty ) \rightarrow [0, \infty) $ $f(x)=x^2$no es inyectiva surjection.

Tiene un 1 cara inversa de la $g(x)\sqrt x$ , por lo que el $\sqrt (x^2)=x$ , e $g \circ f(x)= x$ , pero $ f \circ g \neq x$.

Si se considera el aspecto de la diferenciabilidad, si $f: X \rightarrow Y $ es un mapa diferenciable con $J(f)(x)$ , el Jacobiano de $f$ $x \in X$ invertible, entonces no es localmente (pero no necesariamente de todo el mundo) una función de $g$ $g \circ f(x) = f \circ g(x) =x$