¿Por qué no en Esta Serie Converge?

Question

Estoy enseñando una Calc II curso y llegó a través de la siguiente serie cuando se calcula el intervalo de convergencia de la serie de Taylor de $f(x)=\sqrt{x}$ centrada en $x=1$:

$$ \sum_{n=2}^\infty \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots (2n-3)}{2^nn!}. $$

Sé que no convergen, pero ¿cómo te lo muestre? Me gustaría ser capaz de utilizar sólo la tecnología de Calc II curso, pero cualquier respuesta sería esclarecedor.

Answer 1

Usted puede utilizar aproximaciones de Taylor aquí. Tenga en cuenta que la relación entre términos consecutivos es ${2n - 3 \over 2n} = \exp(\ln(1 - 3/2n)) = \exp(-{3 \over 2n} + O(1/n^2))$. Por lo que el producto es comparable a $\exp(-{3 \over 2} \sum_{i = 2}^n {1 \over n} + O(1/n))$, que es comparable a $\exp(-{3 \over 2} \ln(n))$ o $n^{-{3 \over 2}}$. Por lo tanto la serie converge.

Comentario: Ver a los demás calcular el valor real... una vez que sabes que converge (absolutamente) usted puede utilizar el poder original de la serie para obtener el valor real. Para $|x| < 1$, $(1 - x)^{1 \over 2} = 1 - {x \over 2} - {1 \over 2} \sum_{n=2}^{\infty} A_nx^n$, donde $A_n$ $n$ término de la suma. Puesto que todos los términos de la suma son positivos y converge para $x = 1$, si se toma a los límites de $x$ va a 1, se obtienen de la suma de $S$ estamos mirando. En otras palabras, 0 = 1 - 1/2 - ${S \over 2}$ o $S = 1$.

Y en realidad si te pones a pensar.. si la serie hizo divergen, tomando los límites de la serie como $x$ va a 1 desde abajo daría infinito ya que todos los términos son positivos. Así, tomando los límites de ambos lados como $x$ va a 1 da tanto en la convergencia y el valor correcto.

Answer 2

Adicional a las otras respuestas publicadas, no sólo la suma convergen, pero se puede concluir que converge precisamente porque la forma en que fue derivado. Como estado, en los términos en $C_n=\frac{1\cdot3\cdot5\cdot7\cdots(2n-3)}{2^nn!}$ surgir como la expansión de Taylor de $f(x)=\sqrt{x}$$x=1$, $$ \sqrt{1-x}=1-\frac{x}{2}-\sum_{n=2}^\infty C_nx^n. $$ Como $\sqrt{1-x}$ es un bien definido de la analítica de la función de $\Vert x\Vert < 1$, esto tiene radio de convergencia 1. También, como la raíz cuadrada está bien definida en 0, la monotonía de convergenciada $$ \sum_{n=2}^\infty C_n=\lim_{x\1}\sum_{n=2}^\infty C_nx^n=\lim_{x\1}\left(1-\frac{x}{2}-\sqrt{1-x}\right)=\frac12. $$

Answer 3

Vamos a empezar con la fórmula

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\binom{2n}{n}}{(2n-1)4^n}.$

Tenga en cuenta que

$\displaystyle \frac{\binom{2n}{n}}{2n-1} = \frac{(2n)!}{(2n-1)n!n!} = 2 \frac{(2n-2)!}{n!(n-1)!} = 2C_{n-1},$

donde $C_n$ $n$th catalán número.

Ahora $C_n$ cuenta el número de caminos de longitud $2(n+1)$ que alcanzan el origen de la primera vez en su extremo, siempre a la derecha del origen.

Desde la unidimensionalidad de paseo aleatorio volverá al origen w.p. $1$,

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{C_{n-1}}{4^n} = \frac{1}{2}.$

Por lo tanto, la suma original es igual a

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2C_{n-1}}{4^n} = 1.$

Answer 4

Utilizando la fórmula de Stirling $n!\sim \sqrt {2\pi n}(n/e)^n$, también tengo que el $n$ésimo término de la serie es $O(1/n^{3/2})$. Así que la serie es convergente. En la derivación he utilizado ese $$\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=e^{-1}.$$

Answer 5

De hecho, la suma converge. Usted puede encontrar una forma cerrada por el masaje de la fórmula que he publicado en Hadamard productos viz. $\rm\ (1-4x)^{-1/2} \;=\; \sum\ \binom{2n}{n}\ x^n\:.\ $ Ver también este post. Alternativamente: