¿Armónica de los números tienen una "forma cerrada" expresión?

Question

Una de las alegrías de la escuela secundaria de matemáticas es sumar una serie complicada de conseguir una "forma cerrada" de la expresión. Y, por supuesto, muchos de nosotros tratamos de sumar la serie armónica $H_n =\sum \limits_{k \leq n} \frac{1}{k}$, y fracasó. Pero debemos fallar necesariamente?

Más precisamente, se sabe que $H_n$ no puede ser escrita en términos de las funciones elementales, es decir, la función racional, $\exp(x)$ y $\ln x$? Si es así, ¿cómo es un teorema demostrado?

Nota. Cuando empecé a escribir la pregunta, yo iba a preguntar si se sabe que la armónica función no puede ser representado simplemente como una función racional? Pero esto es fácil de ver, desde $H_n$ crece como $\ln n+O(1)$, mientras que ninguna función racional crece logarítmicamente.

Se agregó una nota: Esta pregunta anterior plantea una pregunta similar para la "integración de primaria". Supongo que me estoy preguntando si existe un análogo de la teoría de las "primarias suma".

Answer 1

Hay una teoría de primaria de totalización; la frase generalmente utilizado es el "resumen en términos finitos." Una referencia importante es Michael Karr, Suma en términos finitos, Revista de la Association for Computing Machinery 28 (1981) 305-350. Citando,

Este trabajo se describen las técnicas que en gran medida ampliar el alcance de lo que se entiende por "finito de términos" ...estos métodos muestran que las siguientes sumas no tienen fórmula de una función racional de $n$: $$\sum_{i=1}^n{1\over i},\quad \sum_{i=1}^n{1\over i^2},\quad \sum_{i=1}^n{2^i\sobre i},\quad \sum_{i=1}^ni!$$

Sin duda, el problema particular de los $H_n$ remonta mucho antes de 1981. Las referencias en Karr del papel puede ser de ayuda aquí.

Answer 2

Armónica de los números pueden ser representados en términos de integrales de funciones elementales: $$H_n=\frac{\int_0^{\infty} x^n e^{-x} \log x \; dx}{\int_0^{\infty} x^n e^{-x} dx}-\int_0^{\infty} e^{-x} \log x \; dx.$$ Esta fórmula también podría ser utilizado para generalizar armónica de los números fraccionarios o incluso argumentos complejos. Estos generalizada armónica de los números de conservar algunas de sus propiedades útiles, por ejemplo, $$H_z=H_{z-1}+\frac{1}{z}.$$

Answer 3

Esto probablemente no es lo que estabas buscando (ya que no está en condiciones de racional o funciones elementales), pero para la serie de números que tenemos

$$H_n=\frac{1}{n!}\a la izquierda[{n+1 \cima 2}\right]$$

donde $\left[{n \cima de k}\right]$ son los (unsigned) los números de Stirling de primera especie (página 261 del libro Concreto de las Matemáticas por Graham, Knuth y Patashnik - segunda edición).

Para la generalización de la armónica de los números me gusta esta fórmula , a pesar de que implica un e integral de Riemann zeta...

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