Límite uniforme de funciones uniformemente continuas

Question

Dejemos que $f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea una secuencia de funciones uniformemente continuas. Supongamos que $f_n$ converge uniformemente en todos los intervalos acotados $[a,b]$ a una función $f$ es decir $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\sup_{a\leq x\leq b}|f_n(x)-f(x)|=0$ para todos $a<b$ . ¿Es el límite $f$ ¿también es uniformemente continua?

En el caso de que la convergencia sea uniforme en toda la recta real, puedo demostrar que el límite también es uniformemente continuo.

Answer 1

No, en general, el límite localmente uniforme de las funciones uniformemente continuas no es uniformemente continuo. Por ejemplo, consideremos

$$h_n(x) = \begin{cases} -n &, x \leqslant -n \\ x &, -n < x < n\\ n &, x \geqslant n\end{cases}$$

y

$$f_n(x) = h_n(x)\cdot x.$$

Entonces todos $f_n$ son uniformemente continuas, y la convergencia es uniforme en todos los subconjuntos compactos de $\mathbb{R}$ pero la función límite $f(x) = x^2$ no es uniformemente continua.

Se obtiene un límite uniformemente continuo si la secuencia es uniformemente equicontinua, por ejemplo. (La convergencia uniforme de $f_n$ en todos los $\mathbb{R}$ implica la equicontinuidad uniforme de $(f_n)$ por lo que es un caso especial de este criterio suficiente).