9 votos

Cómo probar este límite $\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}}=0$

Suponga que un postive término de la serie de $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ coverges, mostrar que $$\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^2}{\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}+\cdots+\dfrac{1}{a_{n}}}=0$$

Yo: desde $a_{n}>0$.así $$\dfrac{n^2}{\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}+\cdots+\dfrac{1}{a_{n}}}>0$$

Pero no puedo encontrar este derecho límite es cero!!!.Gracias

6voto

user15381 Puntos 32

Deje $\varepsilon >0$. Hay un índice de $r$ tal que $\sum_{k=r}^{\infty}a_k \leq \frac{4}{9}\varepsilon$.

Deje $n\geq r$. Considere la posibilidad de la $n-r+1$ números de $a_r,a_{r+1}, \ldots,a_n$. El generalizada significa desigualdad implica que

$$ M_{-1}(a_r,a_{i+1}, \ldots,a_n) \leq M_{0}(a_r,a_{i+1}, \ldots,a_n) \etiqueta{1} $$

es decir,

$$ \frac{n-r+1}{\sum_{k=r}^{n} \frac{1}{a_k}} \leq \frac{\sum_{k=r}^n a_k}{n-r+1} \etiqueta{2} $$

Esto implica que

$$ \frac{n^2}{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k}} \leq \frac{n^2}{\sum_{k=r}^{n} \frac{1}{a_k}} \leq \big(\frac{n}{n-r+1}\big)^2 \big(\sum_{k=r}^n a_k \big) \leq \big(\frac{n}{n-r+1}\big)^2 \frac{4}{9}\varepsilon $$

Ahora, si tomamos $n\geq 3(r-1)$ tendremos $\frac{n}{n-r+1} \leq \frac{3}{2}$ por lo $\big(\frac{n}{n-r+1}\big)^2 \leq \frac{9}{4}$ y por lo tanto

$$ \frac{n^2}{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k}} \leq \varepsilon $$

lo que concluye la prueba.

1voto

Ron Gordon Puntos 96158

Aquí está una lejos de riguroso argumento. Porque

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n < \infty$$

esto implica que $a_n < (1/C) n^{-1-\epsilon}$ $\forall \, \epsilon > 0$ y algunos $C>0$. Por lo tanto,$1/a_n >C n^{1+\epsilon}$. Por la integral de la prueba,

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n} \gt C' n^{2+\epsilon}$$

para $C' >0$. Por lo tanto, la expresión en el límite se comporta como $(1/C') n^{-\epsilon}$$n \to \infty$, y el límite es cero.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X