Definición rigurosa de "Función de"

Question

Cuando estaba aprendiendo estadística me di cuenta de que muchas cosas en el libro de texto que estaba usando estaban redactadas en términos vagos de "esto es una función de eso", por ejemplo, una estadística es una función de una muestra de una distribución. Me di cuenta de que aunque conozco la definición de una función como una relación y tengo una noción intuitiva de lo que significa "función de", no me queda claro cómo se transforma esto en una definición rigurosa de "función de". Entonces, ¿cuál es la definición real de "función de"?

Answer 1

El enfoque moderno es, como usted dice, ver una función como una relación. Así, $f \subseteq A \times B$ es una función si satisface que si $(a,b) \in f$ y $(a,b') \in f$ entonces $b=b'$ . Entonces es común escribir $f(a)=b$ en lugar de $(a,b) \in f$ .

Esta es una forma de formalizar la noción de $f$ definiendo su salida en función de su entrada. Si lo desea, esta es la definición actual de "función de".

Es útil tener en cuenta la larga historia del desarrollo de la noción de función. Durante los primeros días del cálculo una función $f: \mathbb R \to \mathbb R$ fue vagamente definido para significar algo como: f es un proceso que transforma la entrada $x$ a alguna salida $f(x)$ y además $f$ lo hace de una manera muy suave (casi siempre diferenciable).

Este enfoque histórico de la función, aunque no es riguroso, está más en línea con $y$ siendo una función de $x$ . El enfoque moderno de una función como relación, aunque muy riguroso, es más estático. Esto puede ser visto como un defecto de esta definición rigurosa. Sin embargo, la formalización de la función es bastante simple y permite fácilmente el abuso de conceptos para pensar realmente en una función como algún proceso mientras que formalmente no lo es.

Esta situación es algo similar a la definición de una variable aleatoria. Una variable aleatoria no es más que una función con un dominio y codominio particular. Por lo tanto, de acuerdo con la definición relacional, es una cosa muy estática. Sin embargo, pensamos que una variable aleatoria es una cosa muy variable, aunque su valor no se conozca todavía o sea incierto. Sin embargo, esta formalización de la variable aleatoria dentro de los rigurosos límites de la teoría de la medida es muy útil, ya que permite argumentar correctamente sobre los acontecimientos inciertos. Esto demuestra lo poderosa que es la axiomatización moderna: hay suficiente flexibilidad en la interpretación de la noción de función para acomodar muchas situaciones.

Answer 2

" $y$ es una función de $x$ " significa el valor de $y$ está determinado por el de $x$ . Por ejemplo, decir que el área de un círculo es una función del radio implica que todos los círculos con el mismo radio tienen la misma área.

Answer 3

Ciertamente existe una discrepancia entre la definición formal de la teoría del conjunto ("dar" una función dando su gráfico), y el uso informal. Otro aspecto importante del uso informal de la "función" en la práctica es determinar cuando una cosa $y$ es no "una función de" otra cosa $x$ que normalmente significa que "cuando $x$ cambios", pero todo lo demás se "mantiene constante", $y$ no cambia. Una frase sinónima es " $y$ no depende de $x$ ".

Cómo determinar si $y$ "depende de/es una función de" $x$ ? No existe un algoritmo universal, y a menos que la relación o la falta de ella se describa adecuadamente, ni siquiera los ejemplos específicos son resolubles. Esto es especialmente cierto en las mediciones físicas, donde la correlación y la causalidad no siempre son fáciles de distinguir.

En situaciones puramente matemáticas, a menudo hay alguna dificultad para "encontrar" una cosa $y$ y uno está interesado en ser capaz de usar "el mismo $y$ "mientras que otras cosas del entorno/contexto varían. Dando límites superiores o inferiores o contando algo... con un resultado independiente de, es decir, no una función de, alguna otra cosa $x$ ...es una historia más simple. No siempre es obvio si esto es posible o no, así que es razonable hacer la pregunta.

En los debates introductorios de ciencias físicas e ingeniería, es típicamente útil matemáticamente en la medida en que simplifica cosas para asumir (tentativamente? heurísticamente? como una buena aproximación?) que una cosa es independiente de otra, es decir, "no es una función de". El arquetipo para esto es una situación en la que se diferenciará implícitamente, pero, si todo depende de todos los parámetros, sale una expresión inútilmente complicada. El uso de algún sentido experimental/físico sobre las realidades físicas a menudo permite una aproximación útil en la práctica al declarar que esto no depende de eso.

Answer 4

Para responder a esta pregunta, primero debemos preguntarnos "¿qué es una variable?" ¿Qué quiero decir cuando digo que " $x$ es una variable de valor numérico real"?

Voy a tratar de describir un enfoque útil.

Podríamos pensar en $x$ como un marcador de posición para un número desconocido pero específico. O tal vez una notación para expresar funciones. Pero también es útil poder considerar la variable $x$ como simplemente siendo un número real, y no es realmente diferente de otros números reales como el 0, 1, o $\pi$ .

"Pero, ¿cuál es su valor?", podría preguntarse. Eso es fácil: su valor es $x$ . "¿Es positivo, cero o negativo?" Esa también es fácil: la respuesta es "sí". O, más informativo, el valor de la verdad de la declaración " $x$ es positivo" es una variable también.

Para distinguir los modos de pensamiento, reservemos el término "número real" para la forma en que normalmente pensamos, y usemos el término "escalar" para referirnos a los números reales en este nuevo modo de pensamiento.

Si no puedes entender este modo de pensamiento, hay semántica alternativa para esta idea*: puedes imaginar que hay una colección secreta de "estados", y cada número real en este sentido generalizado es en realidad una función de valor real cuyo dominio es la colección de estados. Por ejemplo, en un contexto físico, los estados podrían ser los puntos en el espacio de configuración, y los escalares cosas como la "temperatura" o "el $x$ -coordinada de la partícula 17".

La noción teórica de medición de una variable aleatoria, o la noción analítica de un campo escalar son ejemplos de este tipo de cosas. (Por eso elegí el término "escalar")

Una vez que puedas envolver tu cabeza alrededor de los escalares, puedes imaginar las relaciones entre ellos. Así como $1$ y $2$ satisfacer la relación $1 + 1 = 2$ nuestros números reales $x$ y $y$ podría satisfacer la relación $x + x = y$ o algún tipo de relación más general $f(x,y) = 0$ para un ordinario función $f$ . En este caso, decimos que $x$ y $y$ están funcionalmente relacionados. En el caso especial podemos escribir $y = f(x)$ entonces podemos decir $y$ es una función de $x$ .

(¿Por qué hice hincapié en la función "ordinaria"? Al igual que es útil para formar la idea de $x$ siendo un número variable de la manera que he descrito anteriormente, también es útil pensar en la función variable de la misma manera; quería enfatizar que somos no haciendo eso en el párrafo anterior)

Si estás atascado pensando en los escalares como funciones de los estados, la notación $f(x,y)$ realmente significa que la función que envía el estado $P$ al número $f(x(P), y(P))$ . Una composición similar ocurre cuando nuestros escalares son variables aleatorias.

*: Para los que saben esas cosas, estoy describiendo la lógica interna del topos de las poleas en un espacio discreto.

Answer 5

Una función $f$ se llama "una función de $x$ ", si, para cada $x$ (en algún dominio $X$ ), hay una salida correspondiente única, denotada por $f(x)$ .

Así que una estadística es una función de una muestra de una distribución significa que, dada una muestra $S$ una estadística toma esa muestra $S$ y escupe un valor estadístico único $f(S)$ .