$$
\binom{m}{n}=\frac{m.}{n!(m-n)!}=\frac{156}{(m-n)!}
$$
Por lo tanto $(m-n)!$ es un divisor de a $156=2^2\cdot 3\cdot 13$. Esto obliga a $(m-n)!$ a ser un divisor de a $2^2\cdot3=12$ (el primer $13$ no puede aparecer por razones obvias), dejando $m-n=1$, $m-n=2$ o $m-n=3$.
- Si $m=n+1$, tenemos
$$
\binom{n+1}{n}=156=\binom{n+1}{1}=n+1
$$
- Si $m=n+2$, tenemos
$$
\binom{n+2}{n}=78=\binom{n+2}{2}=\frac{(n+2)(n+1)}{2}
$$
- Si $m=n+3$, tenemos
$$
\binom{n+3}{n}=26=\binom{n+3}{3}=\frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6}
$$
El primer caso es desestimado, porque corresponde a $n=155$.
En el tercer caso, como $n>9$,$(n+3)(n+2)(n+1)>12\cdot11\cdot 10>156$.
Así, sólo el segundo caso se puede sostener y $m-n=2$; precisamente, $n^2+3n-154=0$$n=11$.
Por cierto, la tercera ecuación no tiene entero de soluciones por lo que el único de los casos son $n=11$, $m=13$ y $n=155$, $m=156$.