6 votos

Rápida solución de una ecuación en la factoriales

Ahora me doy cuenta de que no es tan difícil, pero es una cuestión de prueba y debe tener una forma rápida de resolver según lo indicado por el profesor. Sin embargo, yo no lo veo.

Si tanto $m$ $n$ son de dos dígitos de los números naturales y $m! = 156 \cdot n!$ encontrar el valor de $m-n$.

17voto

Dr Xorile Puntos 832

$m\cdot(m-1)\cdots(n+1) = 156$ $m$ $n$ son de dos números de un dígito. Por lo que estamos buscando el producto de un número consecutivo de dos dígitos de los números equivale a 156. Un número de dos dígitos que va a ser de menos de 100, y tres va a ser más de 1000, así que tiene que ser de dos números consecutivos. Si el problema tiene una solución, por lo tanto, es 2.

Resulta que $\sqrt{156}\approx 12.5$, por lo que una conjetura razonable es 12 y 13. El producto de estos dos números es, de hecho, 156. Por lo que podemos deducir que $m=13$$n=11$, y la diferencia es de hecho 2.

8voto

Tracy Carlton Puntos 446

La factorización en primos de $156$$2^2 \times 3 \times 13$. Desde que se da eso $m$ $n$ son de dos dígitos de los números naturales con $m! = 156 n!$, esto implica que $m>n$$m\times (m-1)\times ... \times (n+1) = 156$. Por lo tanto, debemos factor de $156$ como el producto de números naturales consecutivos entre los cuales al menos uno debe ser de dos dígitos. Desde $13$ es un primer factor, debe ser uno de estos números naturales y la única adyacentes número natural que puede ser formado a partir de los restantes factores de $156$$12$. Esto demuestra que $m=13$$m-1=n+1=12 \Rightarrow n=11$. Por eso, $m-n=2$.

1voto

egreg Puntos 64348

$$ \binom{m}{n}=\frac{m.}{n!(m-n)!}=\frac{156}{(m-n)!} $$ Por lo tanto $(m-n)!$ es un divisor de a $156=2^2\cdot 3\cdot 13$. Esto obliga a $(m-n)!$ a ser un divisor de a $2^2\cdot3=12$ (el primer $13$ no puede aparecer por razones obvias), dejando $m-n=1$, $m-n=2$ o $m-n=3$.

  • Si $m=n+1$, tenemos $$ \binom{n+1}{n}=156=\binom{n+1}{1}=n+1 $$
  • Si $m=n+2$, tenemos $$ \binom{n+2}{n}=78=\binom{n+2}{2}=\frac{(n+2)(n+1)}{2} $$
  • Si $m=n+3$, tenemos $$ \binom{n+3}{n}=26=\binom{n+3}{3}=\frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6} $$

El primer caso es desestimado, porque corresponde a $n=155$.

En el tercer caso, como $n>9$,$(n+3)(n+2)(n+1)>12\cdot11\cdot 10>156$.

Así, sólo el segundo caso se puede sostener y $m-n=2$; precisamente, $n^2+3n-154=0$$n=11$.

Por cierto, la tercera ecuación no tiene entero de soluciones por lo que el único de los casos son $n=11$, $m=13$ y $n=155$, $m=156$.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X