Límite multivariable - tal vez un problema más complicado en el que estoy atascado.

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente límite:

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^4y^4}{(x^2 + y^4)^3}$

(Este es un problema más desafiante del Cálculo de Folland, parece).

Estoy bastante seguro de que este límite no existe (sin embargo, esto es solo una suposición y no estoy 100% seguro).

Estoy tratando de aproximarme a través de las trayectorias y = mx y x = my pero... no parecen funcionar. He intentado casos más simples como x = 0 e y = 0.

Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Uno puede observar que, a medida que $(x,y) \to (0,0)$, con $x>0$ y $y=\sqrt{x}$, se obtiene $$\frac{x^4y^4}{(x^2 + y^4)^3}=\frac18,$$ por otro lado, a medida que $(x,y) \to (0,0)$, con $y>0$ y $x=\sqrt{y}$, se obtiene $$\frac{x^4y^4}{(x^2 + y^4)^3}=\frac{y^3}{\left(1+y^3\right)^3}\to 0,$$ por lo tanto, el límite de la función dada no existe.

Answer 2

Si $$f(x,y) = \frac{x^4 y^4}{(x^2 + y^4)^3},$$ esto sugiere que cuando $x^2$ y $y^4$ tienden a $0$ al mismo ritmo, es decir, si dejamos que $x^2 = y^4$, entonces encontramos que $$f(y^2,y) = \frac{(y^2)^4 y^4}{((y^2)^2+y^4)^3} = \frac{y^{12}}{(2y^4)^3} = \frac{1}{8}.$$ Este es el camino deseado que demuestra que el límite no existe en $(0,0)$, ya que otra elección como a lo largo de la línea $(x,0)$ da un límite de $0$.

Answer 3

Utilice coordenadas polares: $$\frac{x^4y^4}{(x^2+y^4)^3} = \frac{r^8\cos^4\theta\sin^4\theta}{r^6(\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta)^3} = r^2\frac{\cos^4\theta\sin^4\theta}{(\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta)^3}$$ Ahora el problema restante es: ¿está acotada la fracción o no? Usted tiene, para $\theta\ne\frac\pi2\mod\pi$: $$\frac{\cos^4\theta\sin^4\theta}{(\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta)^3} = \frac{\cos^4\theta\sin^4\theta}{\cos^6\theta\left(1+r^2\frac{\sin^4\theta}{\cos^2\theta}\right)^4}$$ Así que si va a $0$ siguiendo la curva de la ecuación $r=\cos\theta$, por ejemplo (que es un círculo tangente al eje $y$ en el origen), tiene: $$\frac{x^4y^4}{(x^2+y^4)^3} = \cos^2\theta\frac{\cos^4\theta\sin^4\theta}{\cos^6\theta(1+\sin^4\theta)}\xrightarrow[\theta\to\frac\pi2]{}\frac12\ne0$$ Entonces su función no es continua en el origen, como sospechaba.

Answer 4

Para $x=t\cdot \cos(\theta)$ e $y=\sqrt{t\sin(\theta)}$ tenemos $$\frac{x^4y^4}{(x^2+y^4)^3}=\frac{t^4\cos^4(\theta) t^2\sin^2(\theta)}{(t^2\cos^2(\theta)+t^2\sin^2(\theta))^3} = \cos^4(\theta)\sin^2(\theta)$$