Por una exótica vectorfield en $\mathbb{R}^n$, me refiero a un no-cero de la derivación en el álgebra $C^0(\mathbb{R}^n)$.
Hacer tales cosas existen?
Respuesta
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No, ellos No. Supongamos $d:C^0(\mathbb{R}^n)\to C^0(\mathbb{R}^n)$ es una derivación. En primer lugar, supongamos $f\in C^0(\mathbb{R}^n)$ es no negativa en todas partes. Luego el positivo de la raíz cuadrada $\sqrt{f}$ es continua, y $$d(f)=d(\sqrt{f}^2)=2\sqrt{f}d(\sqrt{f}).$$ It follows that if $f(p)=0$, then $d(f)(p)=0$ (since $\sqrt{f}(p)=0$).
Ahora vamos a $f$ ser cualquier función continua y supongamos $f(p)=0$. A continuación,$d(f)=-d(|f|-f)+d(|f|)$. Desde $|f|-f$ $|f|$ ambos son no negativos y se desvanecen en $p$, se deduce que el $d(f)(p)=0$.
Pero ahora para cualquier $f$ y cualquier $p$, se puede considerar que la función de $g=f-f(p)$. A continuación, $g$ se desvanece en $p$, lo $d(g)$ se desvanece en $p$. Pero $d(g)=d(f)$ desde que difieren por una constante. Por lo tanto $d(f)$ se desvanece en $p$. Desde $f$ $p$ fueron arbitrarias, esto significa $d=0$.
