¿Cuál es el nudo de la teoría acerca de, exactamente?

Question

"En la topología, el nudo de la teoría es el estudio de la matemática de los nudos."

Esta es la forma en Wikipedia define el nudo de la teoría. No tengo idea de qué se supone que significa eso, pero parece interesante. El resto del artículo está lleno de ejemplos de nudos, su notación y tal, que yo entiendo un poco mejor, pero sigo sin entender por qué y cómo se estudia. Así que, ¿qué es exactamente el nudo de la teoría?

¿Qué características de los nudos son estudiados, y cómo se conecta con el resto de las matemáticas? La divulgación completa: tengo la experiencia con el análisis, conocer al menos los conceptos básicos de álgebra abstracta, y creo que podría entender elementales de topología. Así que siéntete libre para darme solo un moderado descripción técnica.

Answer 1

Un nudo, para nuestros propósitos, es un (buen comportamiento) "bucle" en el espacio 3-dimensional. Matemáticamente hablando, se podría pensar en una nudos como (inyectiva, diferenciable) funciones de la unidad de círculo a $\Bbb R^3$ (o, equivalentemente, la imagen de esta función en $\Bbb R^3$). Sin perder ninguna estructura real, vamos a suponer que estos bucles de ajuste dentro de la esfera de radio $1$.

Esa es la parte fácil. Ahora, la parte difícil: ¿qué significa para dos nudos a ser realmente el "mismo nudo"? Intuitivamente, nos gustaría que los dos nudos a ser "el mismo" si usted puede strech/aplastar/giro a la otra sin "rotura de la cuerda" o pasar la cuerda a través de la misma. La manera en que valoramos este matemáticamente, es decir que dos de los nudos son el mismo nudo si son de ambiente isotópica (o, para los más débiles de la condición ambiental isomorfo). En particular, dos nudos $K_1,K_2 \subset B$ ($B$ es la bola unidad cerrada) son del ambiente isomorfos si su complementa $B \setminus K_1$ $B \setminus K_2$ puede ser continuamente deformada de la una a la otra (que son del ambiente isomorfos si estos complementos son homeomórficos).

Nota: no es suficiente para comprobar si dos nudos son homeomórficos, ya que todos los nudos son homeomórficos para el círculo unidad. Creo que el ambiente isomorfismo implica ambiente isotopía en este caso, pero no estoy seguro.

Con eso, el nudo central de la teoría de las preguntas son

• ¿Cómo podemos saber si $K_1$ es el mismo nudo como $K_2$
• ¿Cómo podemos romper complicados nudos hacia abajo en pequeños nudos que entendemos

Otra manera útil de pensar acerca de los nudos es en términos de su nudo diagramas. En particular: tomamos un nudo, una mirada en su proyección sobre un adecuado plano, y mantener un seguimiento de todos los más de/menos de cruces. Resulta que dos nudo diagramas corresponden a la misma nudo si y sólo si uno puede conseguir a partir de un diagrama a otro con movimientos de Reidemeister.

Así que, ¿cómo saber nudos aparte? Generalmente, lo hacemos utilizando nudo invariantes, las propiedades que un nudo se conserva no importa cómo exactamente se extendía, torcido, o smooshed. Por ejemplo, sabemos que el trébol es distinta de la "unknot" debido a que el trébol es tricolorable, pero la unknot no lo es.

Answer 2

Los nudos son incrustaciones de el círculo de $\mathbb S^1$ a $\mathbb R^3$. La pregunta básica es, cuando puede un nudo se deforma continuamente en otro?

Answer 3

Cuando usted diría que, intuitivamente, que dos de los nudos son el mismo nudo? Su idea intuitiva probablemente coincide fuertemente con ellos homeomórficos espacios topológicos. (es decir, de estiramiento o flexión de un nudo sin necesidad de cortar o pegar no cambia su fundamental nudo en el alma.) Es importante tener en cuenta que por el "nudo" se trata de un bucle enredado en alguna manera. Marque esta ejemplos de esta imagen la tomé de wikipedia.

Todos estos nudos se $\textit{fundamentally}$ diferente en el sentido de que para transformar a uno de ellos en uno más de ellos debe cortar y pegar la cadena (lo cual es la idea de "topológico homeomorphisms" intenta capturar.)

Algunas de las preguntas ya están interesantes. Por ejemplo, hay una infinidad de diferentes nudos?

Answer 4

Como se ha mencionado en numerosas ocasiones en las otras respuestas y comentarios, al nudo de la teoría se suele estudiar a través de la lente de nudo invariantes. Así que para dar una idea de lo que invariantes se acerca, voy a dar algunos ejemplos de lo que puede hacer y no puede hacer.

1. Ser capaz de calcular un invariante es útil para establecer los nudos aparte, pero no siempre es bueno para estar seguro de que usted tiene el mismo nudo. La forma más fácil de explicar es tricolorablity. Este es un simple sí o no invariante. Un nudo es tricolorable o no. Por lo tanto, si usted tiene dos nudo diagramas, y uno es tricolorable y el no, definitivamente no son el mismo nudo. Pero si ambos están tricolorable, entonces no podemos saber si son el mismo nudo o no. De modo que a menudo están buscando para clases específicas de nudos que pueden distinguir sobre la base de un invariante.
2. Uno de los problemas con el primer elemento es lo fácil que es para calcular el invariante. Algunos son relativamente fácil, pero por lo general no es tan útil para contar nudos aparte. Los que son son "más fácil" (como en, existe un algoritmo) para calcular son los polinomios - Alexander, Jones, HOMFLY - y son bastante buenos en distinguir los nudos. Pero el más grande es el de los nudos de obtener, más difícil de los invariantes son de calcular. Para ser un poco más precisos, todos ellos crecen de manera exponencial en el número de pasos necesarios en función del número de cruces en un diagrama. (Por supuesto, para un gran nudo, usted puede tener ninguna oportunidad en computación invariantes, por lo que todavía puede ser la mejor opción.)
3. Los invariantes son interesantes para ver cómo actúan en virtud de los cambios en los nudos. Por ejemplo, podemos hacer nuevos nudos de edad por un proceso llamado connect suma: se acaba de combinar dos nudos en uno, por rompiéndolas y conectarlos en un bucle continuo. El número de puente de un nudo $b(K)$ es un invariante que da un número: El más grande es el número, más "complejo" el nudo. Pero cuando nos conectamos suma un nudo $J\#K$, obtenemos la relación amable $b(J\#K)=b(J)+b(K)-1$. Pensamos de conectar suma como la suma de los nudos, de modo que el nudo teóricos encontrarlo y emocionante cuando casi nos añada en el invariantes, cuando nos "agregar" los nudos.
4. A menudo nos fijamos en todos los nudos de un determinado valor para un invariante. Ejemplo: podemos buscar en todos los nudos que son puente número 2, ya que he mencionado esta invariante ya. Estos nudos tienen a menudo explotable características que se puede dejar que nos dicen algo acerca de otro invariante. De nuevo, manteniendo con nuestros 2-puente de nudos, cada dos puente nudo tiene un nudo grupo (otra topología algebraica invariante) $\pi_1(S^3-K)$, tiene una presentación con dos generadores y una relación.

Obviamente, esta es la forma en que me mira nudo de la teoría, y estoy seguro de que usted va a obtener diferentes opiniones acerca de otros nudo teóricos, pero espero que esto puede dar una idea de qué es lo que hacemos.