OLS en términos de medios y el tamaño de la muestra

Question

Dado un modelo:

$$ y = \beta_0 + \beta_1 \cdot f + u $$

Donde $f$ es ficticio $=1$ si es mujer y $0$ lo contrario, y es la altura en cm. El tamaño de la muestra es $n_{female}=n_{male}=100 \rightarrow 200$ en total. Más $\bar{y}_{male} = 175$$\bar{y}_{female}=165$. Calcular las estimaciones de los parámetros.

Mi intento:

Mediante la conocida fórmula:

$$ \boldsymbol{\hat{\beta}} = (\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1} \boldsymbol{X}'\boldsymbol{y} $$ Obtengo: $$ \begin{bmatrix} 200 & 100 \\ 100 & 100 \\ \end{bmatrix} ^{-1} \begin{bmatrix} 170 \cdot 200 \\ 165 \cdot 200 \end{bmatrix} $$

Primero los elementos en $(\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1}$, ya que el $X$ es sólo un montón de los que uno es, hay 100 mujeres en la muestra y hay 200 hombres y mujeres en total. Para $\boldsymbol{X}'\boldsymbol{y}$, el primer elemento es el "grand significa" de 170, y el segundo, es el de la media de la muestra de la altura de las hembras. Ambos son escaladas por los 200, ya que yo no "escala" $(\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1}$.

Es la correcta? Me pregunto, porque la solución (cuando se multiplica) resultados en algunos (muy) de los números impares.

Answer 1

El enfoque es correcto, pero hay un pequeño error numérico: sólo hay un $100$ mujeres, no $200$. La media de la altura de los machos y las hembras pueden ser convertidos a sumas de dinero a través de

$$\text{Sum of male heights} = 100 \times 175$$

y

$$\text{Sum of female heights} = 100 \times 165.$$

Por lo tanto, la suma de todas las alturas es

$$\text{Sum of all heights} = 100 \times 175 + 100\times 165 = 200 \times 170,$$

como se indica en la pregunta. En consecuencia, las ecuaciones Normales son

$$\pmatrix{200 & 100 \\ 100 & 100}\pmatrix{\hat\beta_0 \\ \hat\beta_1} = \pmatrix{200\cdot170 \\ 100 \cdot165}$$

(no $165\cdot 200$ en el lado derecho), con la solución

$$(\hat\beta_0, \hat\beta_1) = (175, -10).$$

Answer 2

Estoy bastante confundido. ¿Qué $u$ significa? Son estos residuos? Si es así, entonces

$\mathbf{X'X}$ = $\begin{bmatrix} 200 & 100 \\ 100 & 100 \end{bmatrix}$

desde

$\mathbf{X} = \frac{\partial{y}}{\partial\beta} = \left[\begin{array}{cccc|cccc} \frac{\partial{y_1}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_2}}{\partial\beta_1} & ... & \frac{\partial{y_{n_f}}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_{{n_f}+1}}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_{{n_f}+2}}}{\partial\beta_1} & ... & \frac{\partial{y_{n_{{n_f}+{n_m}}}}}{\partial\beta_1} \\ \frac{\partial{y_1}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_2}}{\partial\beta_2} & ... & \frac{\partial{y_{n_f}}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_{{n_f}+1}}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_{{n_f}+2}}}{\partial\beta_2} & ... & \frac{\partial{y_{n_{{n_f}+{n_m}}}}}{\partial\beta_2} \\ \end{array}\right]^T$

=

$\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & ... & 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 0 & 0 & ... & 0 & 1 & 1 & ... & 1 \\ \end{array}\right]^T$

Algunas ideas:

Dada su ecuación de $\beta_1$ mi humilde opinión debería ser 175 y $\beta_2$ = -10. Así que por la parte masculina y femenina que se obtiene:

$f_m = 175 (+) -10 \times 0 + u = 175 + u$

$f_f = 175 (+) -10 \times 1 + u = 165 + u$

Ya que se puede utilizar

$\mathbf{\beta} = \left(X'X\right)^{-1}X^{T}\mathbf{y}$

para resolver por $\beta$ utilizando el Moore-Penrose Pseudoinverse.

$\left(\left(X'X\right)^{-1}X^{T}\right)^{+}\beta=\left(\left(X'X\right)^{-1}X^{T}\right)^{+}\begin{bmatrix} 175 \\ -10 \end{bmatrix}=\mathbf{y}$

Ahora $\mathbf{y}$ contiene:

$\mathbf{y} \aprox \begin{bmatrix} 165_{f_1} & 165_{f_2} & ... 165_{f_{100}} & 175_{m_1} & 175_{m_2} & ... 175_{m_{100}} \end{bmatrix}^T$

Espero que ayude!