Fracciones de cálculo en el análisis complejo

Question

De acuerdo a las fracciones de cálculo, sabemos que $$(J^\alpha f) ( x ) = { 1 \over \Gamma ( \alpha ) } \int_0^x (x-t)^{\alpha-1} f(t) \; dt$$

Es en el análisis real, pero ¿qué pasa en el análisis complejo? Como sabemos, si $\alpha$ no es un entero, $(x-t)^{\alpha-1}$ devuelve más de uno de los valores.

Así que mi pregunta es ¿podemos encontrar un método para dejar de fracciones de cálculo de trabajo en el complejo campo?

Answer 1

Hay un montón de definiciones de la fracción de derivados. Si desea una (casi completa) de respuesta para su pregunta, a continuación, pruebe el libro Samko, Kilbas, Marichev, la fracción de integrales y derivadas: teoría y aplicaciones (1993). Especialmente, Ch 4, § 22 fracciones de Integrales y derivadas en el Plano Complejo . "Hacemos hincapié en que cualquier trabajo con las definiciones que requiere de precisión dirigido a una sola rama de la función de varios valores. Esto generalmente se logra por medio de un corte que va desde el punto de ramificación hasta el infinito, o mediante la fijación de $\arg(t - z)$ en una u otra forma. Diferentes opciones de un corte, que corrige la rama de la función $(t - z)^{1+\alpha}$ , y de la curva, da diferentes valores de $f^{(\alpha)}(z)$ en general.

Answer 2

Su fácil. Acaba de hacer la integral y, a continuación, sólo tiene que sustituir su real x con z complejo.