Determinar el valor de un segundo determinante basado en la primera

Question

Sé que la teoría de los determinantes, pero no tengo idea de cómo se aplican a este problema.

Supongamos $$\det\begin{bmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{bmatrix} = 6$$ ¿Cuál es el valor de $$\det\begin{bmatrix}g - 2a&h - 2b&i - 2c\\ 3a&3b&3c\\2d&2e&2f \end{bmatrix}$$

Las opciones para las respuestas son:

1. 4
2. 36
3. 24
4. -24

Answer 1

También, por la vía rápida no el enfoque teórico, se puede establecer $a=2,e=3,i=1$ y otras matrices a ser cero y acaba de examinar el valor del determinante se le pide. Así, se le da $36$.

Answer 2

$$\det\begin{bmatrix}g - 2a&h - 2b&i - 2c\\ 3a&3b&3c\\2d&2e&2f \end{bmatrix}$$

$$=\det\begin{bmatrix}g&h&i\\ 3a&3b&3c\\2d&2e&2f \end{bmatrix}$$ (Applying $R_1'=R_1+\frac23 R_2$)

$$=3\cdot2\cdot \det\begin{bmatrix}g&h&i\\ a&b&c\\d&e&f \end{bmatrix}$$ (Taking out $3,2$ as common factors from the $R_2,R_3$ respectivamente)

$$=(-1)3\cdot2\cdot \det\begin{bmatrix}a&b&c\\ g&h&i\\d&e&f \end{bmatrix}$$ (Exchanging $R_1,R_2$ resultante '-' signo )

$$=(-1)(-1)3\cdot2\cdot \det\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\ g&h&i \end{bmatrix}$$

(Intercambio de $R_2,R_3$, como resultado, ' - ' firmar de nuevo)

Answer 3

det$\begin{bmatrix}g - 2a&h - 2b&i - 2c\\ 3a&3b&3c\\2d&2e&2f \end{bmatrix}$

=3$\times 2\times \det\begin{bmatrix}g - 2a&h - 2b&i - 2c\\ a&b&c\\d&e&f \end{bmatrix}$

=6$\times -1\times \det\begin{bmatrix}a&b&c\\g - 2a&h - 2b&i - 2c \\d&e&f \end{bmatrix}$R1>R2, R2>R1

= 6$\times -1\times -1\times\det\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f \\g - 2a&h - 2b&i - 2c \end{bmatrix}$R2>R3, R3>R2

= 6$\times\det\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f \\g - 2a&h - 2b&i - 2c \end{bmatrix}$ = 6$\times\det\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f \\g&h&i\end{bmatrix}$ R3 -> 2R1+R3

Como, $\det\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f \\g&h&i\end{bmatrix}$=6

= 6$\times6=36$

Answer 4

determinado de la matriz cuadrada es la multiplicación de todos los términos presentes en diagonal. así que usted puede fijar $a,e,i$ de manera tal que se le da a $6$ y todos los demás términos $0$. Ahora poner todos los valores de la segunda matriz y evaluar el resultado es $36$. deje $a=1, e=1,i=6$

$$\det\begin{bmatrix} -2&0&6\\ 3&0&0\\0&2&0\end{bmatrix}$$ da $36$