La prueba ontológica de Gödel

Question

La prueba ontológica de Gödel es un argumento formal para la existencia de Dios del matemático Kurt Gödel.

Por favor, alguien puede explicar cuáles son los símbolos en la prueba y elaborar sobre su flujo:

$$ \begin{array}{rl} \text{Ax. 1.} & \left\{P(\varphi) \wedge \Box \; \forall x[\varphi(x) \to \psi(x)]\right\} \to P(\psi) \\ \text{Ax. 2.} & P(\neg \varphi) \leftrightarrow \neg P(\varphi) \\ \text{Th. 1.} & P(\varphi) \to \Diamond \; \exists x[\varphi(x)] \\ \text{Df. 1.} & G(x) \iff \forall \varphi [P(\varphi) \to \varphi(x)] \\ \text{Ax. 3.} & P(G) \\ \text{Th. 2.} & \Diamond \; \exists x \; G(x) \\ \text{Df. 2.} & \varphi \text{ ess } x \iff \varphi(x) \wedge \forall \psi \left\{\psi(x) \to \Box \; \forall y[\varphi(y) \to \psi(y)]\right\} \\ \text{Ax. 4.} & P(\varphi) \to \Box \; P(\varphi) \\ \text{Th. 3.} & G(x) \to G \text{ ess } x \\ \text{Df. 3.} & E(x) \iff \forall \varphi[\varphi \text{ ess } x \to \Box \; \exists y \; \varphi(y)] \\ \text{Ax. 5.} & P(E) \\ \text{Th. 4.} & \Box \; \exists x \; G(x) \end{array} $$

¿Prueba la existencia y la unicidad?

Edición: estos son lógica modal símbolos.

Answer 1

El operador modal $\square$ se refiere a la necesidad; su dualidad, $\lozenge$ , se refiere a la posibilidad. (Una frase es necesariamente verdadera si no es posible que sea falsa, y viceversa). $P(\varphi)$ significa que $\varphi$ es una propiedad positiva (en el sentido de "buena"); la transcribiré como " $\varphi$ es bueno". Escribiré el argumento de forma coloquial, con la pérdida de precisión que ello implica. En particular, las palabras "posible" y "necesario" son vagas, y hay que entender algo de lógica modal para seguir su uso preciso en este argumento.

• Axioma $1$ : Si $\varphi$ es bueno, y $\varphi$ fuerzas $\psi$ (es decir, es necesariamente cierto que cualquier cosa con propiedad $\varphi$ tiene propiedad $\psi$ ), entonces $\psi$ también es bueno.
• Axioma $2$ : Para cada propiedad $\varphi$ exactamente uno de $\varphi$ y $\neg\varphi$ es bueno. (Si $\neg\varphi$ es bueno, también podemos decir que $\varphi$ es malo).
• Teorema $1$ (Las cosas buenas ocurren): Si $\varphi$ es bueno, entonces es posible que exista algo con la propiedad $\varphi$ .

Demostración del teorema $1$ : Supongamos que $\varphi$ eran buenas, pero necesariamente nada tenía propiedad $\varphi$ . Entonces la propiedad $\varphi$ obligaría, vacuamente, a cualquier otra propiedad; en particular $\varphi$ obligaría a $\neg\varphi$ . Por Axioma $1$ Esto significa que $\neg\varphi$ también era bueno; pero esto contradiría entonces el axioma $2$ .

• Definición $1$ : Llamamos a una cosa godlike cuando tiene todas las propiedades buenas.
• Axioma $3$ : Ser divino es bueno.
• Teorema $2$ (No al ateísmo): Es posible que exista algo parecido a Dios.

Demostración del teorema $2$ : Esto se deduce directamente del Teorema $1$ aplicado a Axioma $3$ .

• Definición $2$ : Llamamos a la propiedad $\varphi$ el esencia de una cosa $x$ cuando (1) $x$ tiene propiedad $\varphi$ y (2) la propiedad $\varphi$ obliga a todas las propiedades de $x$ .
• Axioma $4$ : Si $\varphi$ es bueno, entonces $\varphi$ es necesariamente bueno.
• Teorema $3$ (Dios no tiene pelo): Si una cosa es semejante a Dios, entonces ser semejante a Dios es su esencia.

Demostración del teorema $3$ : Primero hay que tener en cuenta que si $x$ es divina, tiene todas las propiedades buenas (por definición) y ninguna mala (por Axioma $2$ ). Así que cualquier propiedad que tenga una cosa divina es buena, y por lo tanto es necesariamente buena (por el Axioma $4$ ), y por lo tanto es necesariamente poseído por cualquier cosa divina.

• Definición $3$ : Llamamos a una cosa indispensable cuando algo con su esencia (si tiene una esencia) debe existir.
• Axioma $5$ : Ser indispensable es bueno.
• Teorema $4$ (Sí, Virginia): Algo parecido a Dios existe necesariamente.

Demostración del teorema $4$ : Si algo es divino, tiene todas las propiedades buenas por definición. En particular, es indispensable, ya que es una propiedad buena (por el axioma $5$ ); así que, por definición, algo con su esencia, que no es más que "ser divino" (por el Teorema $3$ ), debe existir. En otras palabras, si algo parecido a Dios existe, entonces es necesario que exista algo parecido a Dios. Pero por el Teorema $2$ Si la gente no se da cuenta de que existe algo parecido a Dios, es posible que exista algo parecido a Dios y, por lo tanto, es necesario que exista algo parecido a Dios. QED.

¿Convencido?

Answer 2

La caja es un operador modal (es necesariamente cierto que ...), siendo el diamante su dual (es posiblemente cierto que ...). ' $P(\varphi)$ se mantiene cuando la propiedad expresada por $\varphi$ es "positivo" (quizás mejor, es una perfección). Se definen otras novedades. $G(x)$ dice $x$ tiene todas las perfecciones (así es Dios). $\varphi$ ess $x$ dice la propiedad $\varphi$ es la esencia de $x$ . $E$ es la propiedad de la existencia necesaria (existencia en virtud de su esencia). [No me culpes, sólo estoy informando ....]

Aquí encontrará un poco más sobre la muy extraña aberración aparente de Gödel: http://plato.stanford.edu/entries/ontological-arguments/#GodOntArg

Introducción de Robert Adams a la nota original de Gödel en Kurt Gödel: Collected Works. Vol. III, Ensayos y conferencias inéditos vale la pena leerlo.

Petr Hajek tiene una exploración asombrosamente paciente del estado actual de las investigaciones de la Prueba Ontológica de Gödel y sus variantes en Matthias Baaz et al (eds) Kurt Gödel y los fundamentos de las matemáticas (CUP 2011). Pero no puedo decir que esto haya cambiado mi impresión de que esto es poco más que una curiosa nota lateral en la lógica.

Answer 3

Creo que descartar un argumento que se inscribe en una tradición de 900 años de discurso lógico como una "extraña aberración aparente" es un poco cuestionable. De todos modos, vale la pena señalar que los axiomas y definiciones demasiado fuertes del argumento conducen al colapso modal. Se han sugerido modificaciones que parecen resolver este problema. Por ejemplo, véase http://www.google.co.uk/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&uact=8&ved=0CC0QFjAB&url=http%3A%2F%2Fappearedtoblogly.files.wordpress.com%2F2011%2F05%2Fanderson-anthony-c-22some-emendations-of-gc3b6dels-ontological-proof22.pdf&ei=cNP0U-TnKafH7AbkwoEQ&usg=AFQjCNGBuNm20ZkEB12IkNgklPHZABw58A&sig2=MJyHYb7IbeDV9QmOLb8U0A&bvm=bv.73231344,d.ZGU .

Como cualquier otra prueba, la Prueba Ontológica de Gödel depende de la aceptación de los axiomas, y yo sugeriría que el único argumento que se puede dar a favor de ellos es el de la "razonabilidad". Recientemente se ha publicado un trabajo en el que se estudia la aplicación de demostradores de teoremas automatizados a la prueba ontológica. A pesar del problema de colapso modal del original de Gödel, parece que se ha mantenido bastante bien como ejercicio de lógica modal de orden superior. Véase http://page.mi.fu-berlin.de/cbenzmueller/papers/C40.pdf

Answer 4

Creo que la cuestión más importante para entender la prueba de Gödel es la interpretación de $P$ . A este respecto, me gustaría mencionar que la interpretación popular de $P()$ como " $$ is positive" is not entirely accurate, as a result of axiom $ 1 $. Taking both axioms $ 1 $ and $ 2 $ into account, it is best interpreted as "$$ es una propiedad que tiene una entidad totalmente positiva". La negación de $P()$ no significa " $$ is negative" and neither does it mean "$$ es una propiedad que tiene una entidad totalmente negativa". Significa " $$ is not a property that an all-positive entity has", or "$$ es una propiedad que no tiene una entidad totalmente positiva". (Son equivalentes, lo que significa que la interpretación propuesta se ajusta al axioma $2$ . No puede haber más de una forma de no tener una propiedad, frente a las posibilidades neutras y negativas de la interpretación "positiva").

Considere la propiedad $_1(x)$ para significar " $x$ es extrema en la cortesía", y considera que esto significa "o bien $x$ es muy educado o $x$ es muy descortés". Esta propiedad es más bien neutra que positiva, sin embargo, es una propiedad que tiene una entidad totalmente positiva. En efecto, $\neg _1(x)$ implicaría que $x$ no es muy educado (aparte del hecho de que $x$ tampoco es muy descortés). Tenga en cuenta que $_1$ es una propiedad que también tiene una entidad totalmente negativa. Podríamos llamar $_1$ a de dos filos propiedad.

La interpretación dada se inspira efectivamente en el axioma $1$ . Considere la propiedad $_1(x)$ para significar " $x$ es muy educado" y considera que $P(_1)$ retenciones. Este $_1$ fuerzas $_1$ (es necesariamente cierto que cualquier cosa con propiedad $_1$ tiene propiedad $_1$ ). Ahora se deduce del axioma $1$ que $P(_1)$ se mantiene, a pesar de que, como se ha argumentado anteriormente, $_1$ no es más positivo que negativo. También lo tiene una entidad totalmente negativa. Una posible solución es interpretar $P()$ como: " $$ is a property that is held by an all-positive entity". (I let it to the creativity of the reader to find an interpretation that conforms to axiom $ 1 $, but not to axiom $ 2$.)

$G(x)$ significa " $x$ es una entidad totalmente positiva", o " $x$ es Como Dios manda ". Gödel demuestra que tal entidad existe necesariamente. La diferencia de interpretación de $P$ es importante para analizar si la inversa del esquema de prueba también demuestra que una entidad totalmente negativa existe necesariamente. Podríamos interpretar $P()$ para significar " $$ is a property that an all-negative entity has" and $ G(x) $ to mean "$ x$ es Devil-like ". La verdad del axioma $5$ ( $P(E)$ se mantiene) puede depender especialmente de una correcta interpretación de $P$ . Si $P()$ significa sólo "positivo" (a la inversa "negativo"), entonces la existencia, según el axioma $2$ no puede ser una propiedad que pueda tener tanto una entidad parecida a Dios como una parecida al Diablo. Teniendo en cuenta que $P()$ significa " $$ is a property that an all-positive (conversely all-negative) entity has", it is possible that existence is a two-edged property: both God-like and Devil-like entities can have it. Since a Devil-like entity that exists is more negative than a Devil-like entity that fails to exist, it appears that the converse of axiom $ 5$ también es válida: la existencia es una propiedad de una entidad totalmente negativa. Por lo tanto, de acuerdo con los axiomas de Gödel, también es necesario que exista una entidad similar al Diablo.