¿Por qué no $(0,1]$ compact?

Question

Se dice que $$\bigcup_{n\geq 1}\left(\frac 1n, 1+\frac1n\right)$$ no es compacto.

Por qué?

Es porque no está cerrado? O me estoy perdiendo de algo más?

Muchas gracias.

Answer 1

Aquí hay cuatro maneras de ver que $(0,1]$ no es compacto.

1. La apertura de la tapa se dio por $(0,1]$ (es decir, $\{(1/n,1+1/n)\,:n\in\mathbb N\}$ no tiene ningún subconjunto finito que cubre $(0,1]$ (en otras palabras, no tiene un número finito de subcover). Creo que esta es la razón por la que estabas buscando, como user44441 dijo.
2. Un subconjunto de a $\mathbb R^n$ es compacto si y sólo si es cerrado y acotado. $(0,1]$ no está cerrado (aunque sea limitada).
3. La expansión en LAcarguy del comentario, en un espacio métrico ($\mathbb R$ es un espacio métrico) es un subconjunto compacto si y sólo si es secuencialmente compacto: cada secuencia de el subconjunto tiene un convergentes larga. La secuencia de $1,1/2,1/3,\dots$ está contenido en $S$ pero cada uno de sus subsecuencias converge a$0$$0\notin(0,1]$.
4. Si $(0,1]$ eran compactas, sería cierto que toda función continua $f: (0,1]\to\mathbb R$ alcanza un máximo y un mínimo. Pero la función de $f(x)=1/x$ definido en $(0,1]$ es continua y acotada.

Answer 2

Una forma de ver que (0, 1] no es compacto, es que 0 es un punto límite de la serie, pero no está en el conjunto.

Answer 3

En que se concreta la unión es, probablemente, la intención de mostrar que a partir de la definición que no es compacto, es decir, es una cubierta abierta de a $(0,1]$ a que no finito sub-cubierta. Porque cualquier finito de sub-cobertura tiene un límite inferior $1/N$, para algunas de las $N$ y, a continuación, este sub-cubrir necesariamente miss $(0, 1/N]$.