Prueba de: $AB=0 \Rightarrow Rank(A)+Rank(B) \leq n$

Question

Como dice el título, estoy buscando una prueba de

Si $A,B \in \mathbb{R}^{n\times n}$ y $AB=0$ $\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B) \leq n$

Estoy haciendo esto como preparación para un examen próximo y no puede encontrar una manera de empezar. Por favor, acaba de publicar pequeños consejos como respuestas. Voy a tratar de ir desde allí.

Gracias

ftiaronsem

Answer 1

Por la Clasificación de Nulidad Teorema, $\mathrm{rank}(A)+\mathrm{nullity}(A)=n$. El problema estaría resuelto si se puede mostrar que el $\mathrm{rank}(B)\leq\mathrm{nullity}(A)$. Presumiblemente, $AB=0$ va a jugar un papel en el que, ya que el resultado es false de lo contrario (si $A$ $B$ eran tanto invertible, por ejemplo,$AB\neq 0$, e $\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B) = 2n\gt n$).