¿Qué significa el símbolo $\operatorname{Tr}$ en la acción de Yang-Mills?

Question

Me parece que muchos autores escriben la acción de Yang-Mills de la siguiente manera: $$\mathcal{J}= \int \operatorname{Tr}(F \wedge \star F).$$ Todavía no he encontrado una descripción formal del símbolo $\operatorname{Tr}$ y estoy especialmente interesado en su relación con la geometría diferencial. ¿Cómo debo entenderlo?

Answer 1

Elegimos la convención de la física $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu - i g [A_\mu,A_\nu]$ donde los generadores del álgebra de Lie son herméticos. En este caso la integral tiene signo negativo, $\mathcal{J} = -\int \operatorname{Tr}(F \wedge * F)$ .

Lo primero que hay que tener en cuenta es que $F$ tiene el vector y Índices de álgebra de Lie. La traza es sobre el álgebra de Lie, no sobre los índices de los vectores. Los índices vectoriales son como los de la intensidad de campo en QED. En Yang-Mills la intensidad de campo (también llamada forma de curvatura) está valorada en el álgebra de Lie. En este caso $F_{\mu\nu} = F_{\mu\nu}^a T^a$ donde se utiliza la convención de la suma, y donde el $T^a$ son los generadores de $\mathfrak{su}(n)$ . Para ser explícito, $F$ no sólo tiene componentes tensoriales sino también matriciales $$(F_{\mu\nu})_{ij} = F_{\mu\nu}^a T^a_{ij}.$$

El producto interno de $F$ con sí mismo es por definición $(F,F) = \int F\wedge * F$ donde $*$ es el Hodge $*$ operador. Así, estamos calculando $\mathcal{J} = -\operatorname{Tr}(F,F)$ . Es un ejercicio estándar encontrar el producto exterior de dos $r$ -formas. Encontramos $$F\wedge * F = \frac{1}{2!} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} dx^1\wedge\cdots\wedge dx^4.$$ Nótese que las formas diferenciales no "conocen" el álgebra de Lie. El álgebra aún no ha entrado en el cálculo.

A partir de aquí debemos calcular la traza de $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ , $$\begin{eqnarray} \operatorname{Tr} \left(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\right) &=& \operatorname{Tr} \left( F_{\mu\nu}^a T^a F^{\mu\nu b}T^b\right) \\ &=& \operatorname{Tr}\left(T^a T^b\right) F_{\mu\nu}^a F^{\mu\nu b} \\ &=& \frac{1}{2} \delta^{a b} F_{\mu\nu}^a F^{\mu\nu b} \\ &=& \frac{1}{2} F_{\mu\nu}^a F^{\mu\nu a}, \end{eqnarray}$$ donde hemos utilizado la convención de normalización estándar para el $T^a$ , $\operatorname{Tr} T^a T^b = \frac{1}{2}\delta^{ab}$ . (Esto viene del hecho de que queremos $\mathfrak{su}(2)$ para vivir de forma natural en $\mathfrak{su}(n)$ y los generadores de $\mathfrak{su}(2)$ se toman como $T^a = \sigma^a/2$ , donde $\sigma^a$ son las matrices de Pauli). Así, encontramos $$\begin{eqnarray} \mathcal{J} &=& -\int \operatorname{Tr}(F \wedge * F) \\ &=& -\frac{1}{4} \int d^4x \, F_{\mu\nu}^a F^{\mu\nu a}. \end{eqnarray}$$

Answer 2

Como otros han mencionado esto es sólo el rastro en las matrices. Pero el siguiente punto de vista puede ayudar a ver de dónde viene esto. $F$ vive en el espacio del producto tensorial $su(2) \otimes \Omega^2(M)$ del álgebra de Lie $su(2)$ con $2$ -formas. $\Omega^2(M)$ tiene un producto interno dado por el $L^2$ producto interno y $su(2)$ tiene un producto interno único (hasta la escala) e invariante de Ad dado por la forma de Killing, que en realidad es simplemente $(A,B) \mapsto tr(AB)$ ver $A, B \in su(2)$ como $2 \times 2$ matrices. Tomando el producto interior inducido sobre el producto tensorial, la expresión que has escrito es la norma al cuadrado de $F$ .

Answer 3

Es la traza y se toma sobre el espacio vectorial de los campos $F$ .

Answer 4

Tr es el rastro. Normalmente se define como $$ \operatorname{Tr}\left(F_{\mu\nu}\right) = \sum_\eta F_{\eta\eta} $$ Con las correspondientes generalizaciones para la función continua, etc. Sin embargo, en su caso esta definición debería ser suficiente, ya que $F$ es algo como lo siguiente? $$ F_{\mu\nu} = \frac{1}{ig}\left[D_\mu,D_\nu\right] $$