Algunos problemas con la inducción

Question

Demostrar que para cualquier entero positivo $n \geqslant 2$ tenemos la desigualdad $$ \frac{ 4^n }{ n+1 } < \frac{ (2n)! }{ (n!)^2 }.$ $

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$n=2$ La desigualdad es verdadera. Directamente a tomar y probar desigualdad $k+1$ problemáticamente. Por lo tanto, creo que tenemos que encontrar a la relación de recurrencia con uno de los miembros de la desigualdad. ¡Necesito alguna sugerencia!

Answer 1

Que $a_n = \frac{4^n}{n+1}$ y $b_n=\frac{(2n)!}{n!^2}=\binom{2n}{n}$. Entonces $a_1=b_1$ y:

$$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 4 \frac{n+1}{n+2},\qquad \frac{b_{n+1}}{b_n} = 2\,\frac{2n+1}{n+1}\tag{1} $ $ por lo tanto, sólo tenemos que comprobar que: $$ \forall n\geq 1,\qquad \frac{2n+2}{n+2}< \frac{2n+1}{n+1} \tag{2} $ $ es para probar nuestra afirmación por inducción.

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También tenga en cuenta que: %#% $ de #% sigue de la identidad de Vandermonde y la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Answer 2

Una prueba simple se basa en la observación de que $\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}$ es el coeficiente binomial central $\displaystyle{ {2n} \choose n}$.

Vistazo a la fila $2n$ en el triángulo de Pascal. La suma de todos los términos de $n+1$ es $2^{2n}= 4^n$. Ahora, el central coeficiente binomial es el número más grande en que fila y así $4^n \le (n+1){{2n} \choose n}$.

[He utilizado implica de $a_1 \le M, \dots, a_k \le M$ $a_1+\cdots +a_{k} \le kM$.]

Answer 3

inducción de la trivial:

tiene base caso $n=2$. asumir ${\frac{4^n}{n+1}}\lt {\frac{(2n)!}{(n!)^2}},n\ge 2$

${\frac{4^n}{n+1}}(\frac{4(n+1)}{n+2})\lt {\frac{(2n)!}{(n!)^2}}(\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)(n+1)})\space$?

${\frac{4^n}{n+1}}(\frac{4n+4}{n+2})\lt {\frac{(2n)!}{(n!)^2}}(\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)(n+1)})\space$?

${\frac{4^n}{n+1}}(2)\lt {\frac{(2n)!}{(n!)^2}}(\frac{2(2n+1)}{(n+1)})\space$?

${\frac{4^n}{n+1}}(2)\lt {\frac{(2n)!}{(n!)^2}}(\frac{4n+2}{(n+1)})\space$?

${\frac{4^n}{n+1}}(2)\lt {\frac{(2n)!}{(n!)^2}}(\frac{2n+2n+2}{(n+1)})\space$?

${\frac{4^n}{n+1}}(2)\lt {\frac{(2n)!}{(n!)^2}}({\frac{2n}{(n+1)}}+{\frac{2n+2}{(n+1)}})\space$?

($? = $ no tomado como verdadero sólo para simplificar)

${\frac{4^n}{n+1}}(2)\lt {\frac{(2n)!}{(n!)^2}}({\frac{2n}{(n+1)}}+2),n\ge 2$

obvio que $\space 2\lt {\frac{2n}{(n+1)}}+2$ % todo $n\in N$

$\therefore {\frac{4^{n+1}}{(n+1)+1}}\lt {\frac{(2(n+1))!}{((n+1)!)^2}},n\ge 2$

y por inducción