¿Cómo solucionarlo?

Question

Soy una senior high school y estoy tomando Calc II. La semana pasada fuimos a través de la integración por partes. Me encontré con este problema que no está en el libro de texto, y no pude resolverlo. He intentado varios métodos pero cada uno de ellos me llevó a un callejón sin salida. Cualquier ayuda es apreciada.

Aquí es: $$\int \ln(x)\cos(x)\: \mathrm{d}x$ $

Answer 1

Vamos a combinar hechos simples de $2$

$1)$ Integración por partes $$\int_0^{u} \log(x) (\sin(x))' dx = \log(u) \sin(u)-Si(u)$ $

$2)$ La representación de la serie $Si(u)$ está dada por

$$Si(u)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{u^{2n-1}}{(2n-1)(2n-1)!}$$

Así $$\int_0^{u} \log(x) \cos(x) dx = \log(u) \sin(u)+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{u^{2n-1}}{(2n-1)(2n-1)!}$ $

Note: $$\lim_{x\to0} \log(x) \sin(x)=\lim_{x\to0} x\log(x)\lim_{x\to0} \frac{\sin(x)}{x}= 0 \cdot 1=0$$