¿Implica $M_n(R_1)\cong M_n(R_2)$ $R_1\cong R_2$?

Question

Sea $R_1,R_2$ dos anillos con identidad. ¿If $n\in\mathbb N$, $M_n(R_1)$% y $M_n(R_2)$ son isomorfos como anillos, podemos deducir ese $R_1\cong R_2$? Puedo probarlo cuando ambos $R_1,R_2$ local o conmutativa.

Answer 1

Según un Comentario de Tom Goodwillie en este MO pregunta, existen anillos $R,S$ tal que $M_2(R) \cong M_4(S) = M_2(M_2(S))$ y $R \ncong M_2(S)$.