¿Cuál es la dimensión de esta variedad algebraica?

Question

Deje $\mathbb K$ ser un campo de número de grado $n$$\mathbb Q$, y vamos a $\alpha_1,\alpha_2, \ldots ,\alpha_n$ $\mathbb Q$- base de $\mathbb K$. Luego son los coeficientes $(c^{ij}_k)$ (donde $i,j,k$ son independientes de los índices entre $1$$n$) tal que

$$ \alpha_i \times \alpha_j = \sum_{k=1}^{n} c^{ij}_k \alpha_k $$

y tenemos por cualquier índices de $i,j,k,l$,

$$ (1) c^{ij}_k=c^{ji}_k \ (\ {\rm conmutatividad}) $$

$$ (2) \sum_{y=1}^{n}c^{iy}_lc^{jk}_y=\sum_{y=1}^{n}c^{ij}_yc^{yk}_l \ (\ {\rm asociatividad}) $$

Si tomamos $\alpha_n$$1-\sum_{y=1}^{n-1} \alpha_y$, también tenemos

$$ (3) \sum_{y=1}^{n}c^{yi}_j=\delta_{ij} $$

donde $\delta_{ij}$ es el símbolo de Kronecker.

Ahora, vamos a $V$ ser el algebraicas variedad en las variables $( c^{ij}_k)$ se define como el subconjunto de ${\mathbb C}^{n^3}$ la satisfacción de las ecuaciones (1) a (3). Es la dimensión de la $V$ (en el sentido de la geometría algebraica) conocido ?

Answer 1

Como dice Mariano, esta variedad tiene múltiples componentes $n \geq 8$. No hay ninguna fórmula conocida para la dimensión del componente más grande y ninguno es probable que se conoce, pero se sabe que $\frac{2}{27} n^3 + O(n^{8/3})$. Para las pruebas de estos hechos y mucho más, vea resolver, el espacio de móduli de álgebras conmutativas de la fila finita.