¿Cómo interpretar correctamente el comportamiento de la capacidad calorífica de un agujero negro cargado?

Question

Nota: a Pesar de que me han proporcionado una "respuesta" a la pregunta, yo no resolver todas las preguntas en este post de manera satisfactoria. Invito a cualquier persona dispuesta y capaz de proporcionar una mejor respuesta, que yo estaría encantado de aceptar en su lugar.

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Considerar la Reissner-Nordström métrica

$$ds^2=-f(r)dt^2+f^{-1}(r)dr^2-r^2d\Omega^2\hspace{2cm} f(r)=1-\frac{2M}{r}+\frac{M^2c^2}{r^2}$$ donde he definido el cargo a la relación de la masa $q:=Q/M de dólares, que satisface $|q|\leq 1$ para evitar singularidades desnudas. Como es bien sabido, hay dos horizontes (o de solo un uno cuando $|q|=1$) a $r_\pm=M(1\pm\sqrt{1-p^2})$.

Me gustaría entender las propiedades termodinámicas de este agujero negro de la solución. La temperatura está dada por $$ T=\frac{r_+-r_-}{4\pi r_+^2}=\frac{1}{2\pi M}\frac{\sqrt{1-p^2}}{(1+\sqrt{1-p^2})^2}$$ He calculado la capacidad de calor $$ C:=T\bigg(\frac{\partial S}{\partial T}\bigg)_Q$$ mediante $S=\pi r_+^2$ y un montón de aplicaciones de la regla de la cadena se obtiene $$ C=2\pi M^2\frac{\sqrt{1-p^2}(1+\sqrt{1-p^2})^2}{1-2\sqrt{1-p^2}}$$ que tiene algo de curioso comportamiento que me gustaría entender físicamente. He representado $\frac{C}{2\pi M^2}$ en función de $p$, y el resultado se muestra a continuación.

$\hspace{4cm}$

Para los pequeños $q$, la capacidad de calor es negativo (este es el comportamiento esperado, al igual que en Schwarzschild), y como uno agrega carga, la capacidad de calor disminuye. Sin embargo, como se puede ver fácilmente, el denominador tiene ceros en $|q|=\frac{\sqrt 3}{2}$, y por lo tanto la capacidad de calor diverge (!) a $-\infty$ en estos valores, "emergentes desde $+\infty$" para valores mayores de $ | q |$. En, una vez más, estrictamente decreciente de la moda. Lo que me gustaría entender es:

1. "La adición de cargo" siempre parece disminuir $C$. Hay una razón clara para esto?

2. Físicamente, se debe esperar un divergentes de la capacidad de calor en un determinado cargo (por masa)? ¿Por qué se encuentra en $|q|=\pm\frac{\sqrt 3}{2}$?

Answer 1

Se señala en el documento por Daniel comentario me dio un punto de partida para encontrar más literatura sobre este tema y profundizar en la investigación. Después de un tiempo, se hizo evidente para mí que mi pregunta es, en realidad, una inestable (investigación) de la pregunta. Por lo tanto, una respuesta definitiva, realmente no se esperaba. Sin embargo, creo que es valioso para proporcionar algo de una respuesta. Ya que nadie más lo ha hecho, yo ahora simplemente exponer los principales resultados de mi propia investigación. Esta "respuesta" sólo la dirección de mi segunda pregunta:

Lo que hace la diferencia en el calor de la capacidad de decir?

Esta parece ser la pregunta que ha atraído más la atención de los investigadores. Creo que, cronológicamente, este papel por Davies (paywalled, lamentablemente), fue el primero en traer a colación el hecho de que hay una discontinuidad infinita en la capacidad calorífica de una de Reissner-Nordström (o más bien, su generalización, llamado el de Kerr-Newman métrica) agujero negro en $\frac{Q}{M}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Una cosa similar ocurre en el de Kerr-Newman configuración cuando el momento angular de la relación entre la masa supera un cierto valor.

Como ya se puede apreciar desde lo abstracto, Davies sostiene que no hay un significado físico a esta divergencia: Él lo ve como una fase de transición. Tomamos nota de que, incluso para los más altos cargos, el agujero negro tiene de positivo la capacidad de calor y por lo tanto puede estar en equilibrio con un baño de calor. Lamentablemente, Davies se abstiene de comentar en cualquier profundidad de por qué no es (o debería ser) una fase de transición, ya que la carga es mayor. En la Kerr ($Q=0$) caso, se sugiere una interpretación de la transición de fase que se produce en un determinado valor de $J$ (fijo $M$):

Newtoniano cálculos [...] indican que una rotación, la auto-gravitando líquido se vuelve inestable y pierde su axisymmetry a un valor crítico de la relación (de rotación de la energía/energía gravitacional Newtoniano). Agradezco al Dr. D. W. Sciama para la elaboración de mi atención a un resultado sorprendente por Bertin Y Radicati (I976), que se han recuperado esta inestabilidad como un termodinámicas de segundo orden de la fase de transición [...]. En el mayor momento angular de fase, la simetría axial, esferoide, da paso a un elipsoide triaxial. Esto sugiere la posibilidad de que en una manera similar, el agujero negro de Kerr vuelve inestable [...] y entra un no-simetría axial, la dinámica de la fase en la que el nuevo termodinámico grados de libertad aparecen.

Poco después de Davies de papel, un artículo por el joven físico holandés Piet Hut apareció, con un análisis más en profundidad (véase la sección 3 y en el apéndice 1 de este documento). Cabaña toma una posición distinta a la de Davies sobre el significado de la discontinuidad de la capacidad de calor. Él considera que tanto la capacidad de calor en constante $Q$, que se denota por $C_Q$, y la capacidad de calor constante de potencial eléctrico $C_\Phi=-\frac{S}{4\pi}$. Aquí, $\Phi$ es definido por la ecuación general

$$dM=TdS+\Phi dQ $$

Mientras que $C_\Phi$ es finito y negativo en todas partes, $C_Q$ tiene una discontinuidad infinita en $Q/M =\frac{1}{2}\sqrt{3}\approx 0.87$. En este punto, su signo cambia demasiado: $C_Q$ es positivo para más altamente cargada agujeros negros. Este extraordinario comportamiento de $C_Q$ se produce porque el $Q, T$ coordenadas son de doble valoración, que se ilustra en la Fig. 5 [reproducido más abajo]. El $Q, \Phi$ coordenadas, sin embargo, la forma no degenerada sistema de coordenadas en todas partes. La razón física por la doble valuado en us $M (Q, T)$ es que la temperatura de un agujero negro tiende a cero no sólo en el límite de $M\to\infty$, pero también en el límite inferior $M \downarrow P$ si $P$ se mantiene constante, ya que en ambos casos la gravedad en la superficie se desvanece.

[...]

Con el fin de interpretar la discontinuidad en $C_Q$ en términos de una transición de fase, el potencial termodinámico a considerar sería el de Helmholtz energía libre $F(T, Q) =M-TS$ en lugar de la habitual de energía libre de Gibbs $G(T, \Phi) = F -P\Phi$, ya que el calor capacidades puede ser escrito $C_Q = - T(\partial^2 F/\partial T^2)$ y $C_\Phi=-T(\partial^2 G/\partial T^2)$, respectivamente.

En analogía a la Ehrenfest clasificación [que clasifica a las transiciones de fase por el menor derivadas de la energía libre que es discontinua en la transición] de las transiciones de fase, que podríamos llamar de la dis- la continuidad en $C_Q$ una transición de fase de primer orden, ya que $(\partial F/\parcial T)_Q$ se vuelve infinita en $Q/M =\frac{1}{2}\sqrt{3}$. Pero esta terminología no parece ser muy apropiado en este caso, ya que no existe tal cosa como un calor latente en este caso, y la mayoría de las otras funciones termodinámicas son bien comportados (véase el Apéndice 1).

En el mencionado apéndice 1 nos encontramos con una demostración de que sólo aquellas funciones que dependan explícitamente de la (supuestamente) degenerada coordenadas $Q,T$ se ven afectados por la divergencia de $C_Q$. Esto se hace simplemente mediante el cálculo de un número de funciones termodinámicas y demostrando que no tienen singular comportamiento, a menos que dependen de la $Q,T$ coordenadas.

Finalmente, cerca del final de su libro, la Cabaña se describe el significado de la singularidad:

[...] la discontinuidad infinita no puede ser considerado como un cambio de fase. Aquí la entropía es continua junto con todos sus derivados [...]. Pero esta discontinuidad infinita tiene un físico significado que trasciende el de una transición de fase. Aunque las características internas del sistema no cambian aquí, la forma en que el sistema puede ser puesto en equilibrio estable con un entorno externo cambios. En el lateral con un mayor $P/M$, $C_Q > 0$, y el sistema puede estar en equilibrio con un baño de calor. Pero en la parte baja de $P/M$ lado, $C_Q < 0$, y el sistema sólo puede estar en equilibrio si se encuentra aislado del mundo exterior. Así, en lugar de una transición de fase que nos encontramos aquí de una transición de una región donde sólo un microcanonical conjunto puede ser utilizado para una región donde un canónicos y un microcanonical conjunto son los adecuados.

Así, vemos que la Cabaña interpreta la singularidad como significando un cambio en la forma en que se puede describir el sistema, en lugar de un cambio en las propiedades del sistema en sí.

Más recientemente, ha habido un par de nuevas publicaciones sobre el tema, pero en mi opinión de que no contienen muy convincentes argumentos, así que no creo que hablando de ellos es realmente vale la pena. En cualquier caso, parece que el problema no ha sido completamente resuelto. Por último, debo señalar que, a mí personalmente, la explicación de la Cabaña parece bastante convincente.