$$\lim_{x \to \infty} \root 3 \of {x^3+3x^2} -\root 2 \of {x^2-2x}$$
En el problema anterior, pensé que $$[\infty - \infty ]$$ transformed into $$\biggl [ {0\over {0}} \biggl]$ $ y el usar regla de la L'Hopital lo solucionaría, pero terminé con un montón de confusas fracciones de raíces a diferentes competencias. Calculé un poco en ella, pero cuanto más me fui lo más complicado sería conseguir.
Mi pregunta es: ¿hay cualquier otro enfoque a este problema?
Vamos a utilizar la expansión $ (1 + u) ^ \alpha = 1 + \alpha u+O(u^2) $$ $u\rightarrow 0$.
Ahora $$ \sqrt[3]{x^3+3x^2}=x(1+3/x)^{1/3}=x(1+1/x+O(1/x^2))=x+1+O(1/x) $$ y \sqrt{x^2-2x}=x(1-2/x)^{1/2}=x(1-1/x+O(1/x^2))=x-1+O(1/x) $$ $$ $x\rightarrow +\infty$.
Por lo que resta rinde $$ \sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}=2+O(1/x) \rightarrow 2 $$ $x\rightarrow +\infty$.
Por lo que su límite es $2$.
Sugerencia: ¿Son realmente diferentes raíces? Uno de ellos es $\sqrt[6]{(x^3+3x^2)^2}$ y la otra es $\sqrt[6]{(x^2-2x)^3}$.
A continuación, utilice la identidad de $a^6-b^6=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$.
Comentario: ayuda a encontrar primero la respuesta de manera informal. La idea es que el $\sqrt[3]{x^3+3x^2}$ será aproximadamente el $x+1$, e $\sqrt[2]{x^2-2x}$ será aproximadamente el $x-1$, por lo que la diferencia, para un gran $x$, debería ser $2$-ish.
Este enfoque puede ser más formal, y es, a mi juicio más satisfactoria que las manipulaciones algebraicas que se espera, y que la sugerencia se describe.
La primera expresión es $x\sqrt[3]{1+\frac{3}{x}}$. Encontrar los tres primeros términos de la energía de expansión de la serie de $\sqrt[3]{1+\frac{3}{x}}$.
Del mismo modo, la segunda expresión es $x\sqrt[2]{1-\frac{2}{x}}$. Encontrar los tres primeros términos en el poder de expansión de la serie de $\sqrt[2]{1-\frac{2}{x}}$. La respuesta se caen.
Varias de las otras respuestas han confiado en poder de la serie, que puede o no puede estar muy por delante de donde usted está en tus estudios. Es una poderosa técnica que proporciona una gran visión, pero no sirve de nada si sólo has de empezar a mirar derivados.
Suena como que usted ha practicado un montón de otras limitar los problemas ya. Probablemente usted ha visto una manera de calcular los límites con una sola raíz como $\lim_{x\to\infty} \sqrt{x^2-2x} - x$. Si no, entonces es un estándar truco para utilizar la identidad de $$a-b = \frac{a^2 - b^2}{a+b},$$ y de manera similar para el cubo de raíces se puede utilizar $$a-b = \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b}.$$
Una simple manera de lidiar con las dos raíces distintas aquí es dividir la expresión como
$$\lim_{x\to\infty} (\sqrt[3]{x^3+3x^2} - x) - (\sqrt{x^2-2x} - x).$$
Estamos usando el hecho de que tanto las raíces están muy cerca de $x$, por lo que es razonable esperar que cada uno de los diferentes límites existe (en cuyo caso podemos evaluar el límite de la diferencia). De hecho, el primer límite hace converger a $1$ y la segunda converge a $-1$.
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