complejos conjugados de holomorphic funciones

Question

Me encontré con esta pregunta, mientras que haciendo algunas investigaciones en análisis complejo, y yo simplemente no puede ver qué hacer!

Deje $f(z)$ ser un holomorphic de la función en $\mathbb{C}$. Mostrar que $\overline{f(\overline{z})}$ es holomorphic, mientras que $f(\overline{z})$ es holomorphic si y sólo si $f(z)$ es constante.

Sé que holomorphic significa que la función es diferenciable en todas partes, y deben aplicar las Cauchy-Riemann ecuaciones de alguna manera, pero no estoy seguro de cómo acercarse a este.

Answer 1

Desde $f$ es todo, tiene una expansión de Taylor (centrado en $z_0\in \mathbb{C}$) $$f(z)=\sum_{n\ge 0}a_n(z-z_0)^n$$ Hence, $$\overline{ f(\bar z)}=\overline{\sum_{n\ge 0}a_n(\overline{z}-z_0)^n}=\sum_{n\ge 0}\overline{a_n}(z-\overline{z_0})^n$$ and we know this series converges since you can show it has the same radius of convergence as the original series. Therefore, $\overline{ f(\bar z)}$ es holomorphic.

Answer 2

Así que usted quiere mostrar que si $f(z)$ es holomorphic, a continuación, $\overline{f(\bar z)}$ es holomorphic demasiado.

Creo que va a ser más fácil , no para dividir en partes real e imaginaria -- por lo que no Cauchy-Riemann-pero en lugar de trabajar directamente a partir de la definición de la diferenciabilidad.

Natural de la conjetura sería que $\frac{d}{dz} \overline{f(\bar z)}$$\overline{f'(\bar z)}$. Se puede demostrar que esto es de hecho el caso?

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Para la segunda parte, tal vez mostrar que si $g(z)$ $\overline{g(z)}$ son tanto holomorphic, a continuación, $g$ es constante. (Aquí, el uso de Cauchy-Riemann se siente más prometedor).