Gelfand Naimark Teorema De

Question

La propiedad conmutativa de Gelfand-Naimark teorema nos dice que cada unital conmutativa la C* álgebra es isométricamente isomorfo al espacio de funciones continuas en su máxima espacio ideal. La no - conmutativa GNS de la construcción, por otro lado, nos dice que cada C* álgebra es isométricamente incrustado en un * subalgebra de $\mathfrak{B}(\mathbb{H})$ para un espacio de Hilbert $\mathbb{H}$.

Mi pregunta es la siguiente: ¿cómo funciona el conmutativa caso de ajuste en el que no conmutativa?

Pude ver que, dado un conmutativa la C* álgebra $C(X)$ donde $X$ es localmente compacto Hausdorff espacio, uno puede encontrar un cero positivo lineal funcional $F$ $C(X)$ tal que $F(e)=1$ donde $e$ es la identidad de la función en $C(X)$. A continuación, el uso de Riesz Representación teorema, uno puede encontrar un correspondiente Borel $\sigma$ álgebra en $X$ y una única probabilidad de medida $\mu$ tal que $F(f)= \int f\,d\mu \quad \forall f\in C(X)$. A partir de aquí es fácil deducir que el $C(X)$ es isométricamente incrustado en un * subalgebra de $\mathfrak{B}(\mathcal{L^2}(X,\mu))$ a través de operadores de multiplicación.

Mi pregunta es: ¿hay una forma ortodoxa de encontrar una medida de probabilidad? Es evidente que si tenemos un lineal positiva funcional, obtenemos una probabilidad diferente medida. Por lo que hay algunas única/ forma natural de hacer esto? También, es aquí donde la Hahn-Hellinger teorema viene?

Agradecería algo más de claridad sobre esto, y también hace referencia a si es posible.

Answer 1

La conmutativa caso encaja en el no conmutativa caso simplemente; en ambos casos, no hay una elección canónica de lineal funcional que conduce a una representación isométrica de la C$^*$-álgebra.

Vamos a considerar el GNS representación más cuidadosamente.

No es el caso que siempre hay un funcional lineal $f$ cuyo GNS representación da una representación isométrica de su C$^*$-álgebra $A$ en algunos $B(H)$. Si el lineal funcional $f$ es fiel, es decir, $f(x^*x)=x$ implica $x=0$, entonces la correspondiente representación $\pi_f$ es isométrica. Si su $C^*$-álgebra es separable, entonces siempre habrá un fiel lineal positiva funcional $f$, pero habrá muchas opciones diferentes para $f$. Por supuesto, el C$^*$-álgebras $\pi_f(A)$ todos serán isométricamente isomorfo por todas estas diferentes opciones de fieles estados $f$.

En general, usted tendrá que considerar una suma directa de muchos de los diferentes GNS representaciones utilizando diferentes estados con el fin de obtener el isométrico de la inclusión de $A$ algunos $B(H)$. Por ejemplo, uno puede tomar la "representación universal" constituida por la suma directa de los GNS representaciones para todos lineal positiva funcionales en $A^*$.

Del mismo modo, uno puede necesitar más de una medida para obtener una representación isométrica de su conmutativa C$^*$-álgebra. En lugar de la fijación de una $F \in C(X)^*$, $F \geq 0$, uno podría tener una representación universal constituida por la suma directa sobre tales $F$. Así que no es un canónica manera de escoger uno de esos $F$ o medida correspondiente $\mu$.

También, si $X$ es localmente compacto espacio que no es compacto, entonces debería considerar la posibilidad de $C_0(X)$, las funciones continuas en $X$ que se desvanecen en el infinito. En este caso, la función de $e$ en su pregunta (dado por $e(x)=1$ todos los $x$) no será un elemento de su C$^*$-álgebra.

Sí, esta falta de una representación canónica de sí mismo-adjoint operadores operadores de multiplicación se hace más difícil determinar cuando dos de estos operadores son unitarily equivalente y es por esta razón que necesitamos de los resultados como el de Hahn-Hellinger teorema.

Answer 2

En adición a lo anterior respuesta, tal vez yo también podría añadir esto : Su objetivo es representar fielmente un C* álgebra sobre un objeto que es (ojalá) se comprende mejor. Con el fin de hacer esto, usted está buscando una representación fiel.

La idea es buscar representaciones irreducibles, es decir,. aquellos que no pueden ser descompuestas en mayor medida como la suma directa de representaciones. Resulta que, en la conmutativa caso, todas estas representaciones irreducibles son unidimensional (que corresponden a la evaluación de los mapas de $C(X) \to \mathbb{C}$).

En la no-conmutativa caso, sin embargo, no es tan afortunado. Para cada irreductible reprentation, se obtiene un espacio de Hilbert (que puede o puede no ser $\mathbb{C}$). La adición de todas estas representaciones seguimiento a los resultados en una dimensión posiblemente infinita espacio de Hilbert. Este es el GNS de la construcción.