Es un homeomorphism que los mapas de líneas de líneas (y correcciones de cero) necesariamente lineal?

Question

Sabemos que el homeomorphism $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ mapas de líneas rectas con líneas rectas y el vector cero para el vector cero. Es Lineal?? Si es así, ¿cómo podemos demostrarlo?

Answer 1

Se que con la asunción de la $n>1$? Si no es un buen contra-ejemplo podría ser la función $\phi(x)=x^3$ ( $x\in\mathbb{R}$) . Es un homeomorphism, mapas $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$(la única línea en $\mathbb{R}$) y, obviamente, los mapas de $0$ $0$

Answer 2

Esto no es suficiente para sugerir la linealidad w/s es un homeomorphism... ha de satisfacer $\phi(a*v_1 + b*v_2) = a\phi(v_1)+b\phi(v_2)$. Por lo que las líneas de las líneas no promete la linealidad, a pesar de que es un requisito ya que las líneas son una combinación lineal de los vectores en $\mathbb{R}^n$. Suponiendo que usted está buscando en $\mathbb{R}^n$ como una combinación de los vectores en el típico sentido.

El homeomorphism quita el discontinua de los casos y de las situaciones con un núcleo. Mi mal no he leído el problema correctamente inicialmente.

Líneas puede ser expresado como una combinación lineal de los elementos de un espacio vectorial con un indeterminado a la primera potencia. Sólo expresar una matriz con una base como la asignación y tiene usted la linealidad en la forma de una matriz.