Deje $X$ ser un espacio de Borel con una medida de Borel $\mu$. Supongamos $\xi: X\times X\to\mathbb R_{\geq 0}$ es una función continua y poner $s(x) = \{y\in X:\xi(x,y) = 0\}$. Para cualquier conjunto a $b\in\mathcal B(X)$ ponemos $$ \mathcal Sb = \bigcup\limits_{x\in b}s(x). $$ Estoy interesado en las soluciones de una ecuación de $\mathcal Sb\subseteq b$, o incluso la generalizada uno: $$ \mu(\mathcal Sb\setminus b) = 0. $$ Podríamos decir que estas ecuaciones son problemas de punto fijo? Si hay una literatura para estos problemas?
Respuesta
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Michael Greinecker
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La siguiente no es tanto una respuesta como es un puntero a algunas conexiones con otras áreas que uno podría explotar.
Supongamos por simplicidad que $X$ es un espacio métrico compacto. Todos los resultados que yo uso se puede encontrar en el libro de Infinitas Dimensiones de Análisis por Aliprantis y Frontera.
A continuación, cada subconjunto cerrado de $X\times X$ es el cero de una función $\xi$ (sólo deje $\xi$ ser la distancia al subconjunto), por lo que podemos prescindir de la función de $\xi$. Este subconjunto cerrado es el gráfico de la correspondencia (o multifunción) $s$. Que el gráfico está cerrado es equivalente a $s$ siendo superior hemicontinuous correspondencia (uhc) con el cierre de los valores. A continuación, $\mathcal{S}$ es simplemente la costumbre de avance de la imagen de un conjunto bajo una correspondencia. El coordinatewise de la unión de dos uhc correspondencias es la cobertura universal, por lo $s^*$ $s^*(x)=s(x)\cup\{x\}$ es de uhc y compactos con valores.
Usted está buscando para los conjuntos de Borel $B$ tal que $s^*(B)=B$. Un compacto con valores de uhc correspondencia mapas compacto de los conjuntos compactos, por lo $s^*(B)$ es una función creciente en todo el entramado de conjuntos compactos en $X$. Así que el conjunto de compacto puntos fijos formas un completo entramado, por el Tarski teorema de punto fijo. No obstante, podría darse el caso de que $\emptyset$ $X$ es el único de estos puntos fijos.
Para el general de los conjuntos de Borel, el problema es que innumerables sindicatos de conjuntos de Borel no son, generalmente, Borel, por lo $s^*$ no mapa $\mathcal{B}(X)$ a sí mismo.
