Ideales asociados a un ideal principal generado por un divisor no nulo

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo noetheriano y $b\in R$ un no-zero-divisor. El teorema del ideal principal de Krull implica que todo ideal primo mínimo sobre el ideal $(b)$ tiene codimensión $1$ . Sin embargo, ¿es posible que uno de los ideales asociados de $(b)$ está incrustado, es decir, tiene codimensión $>1$ ? En caso afirmativo, ¿podría dar un ejemplo? ¿Serán todos los ideales primos asociados de la misma codimensión si suponemos que $R$ ¿es el anillo de coordenadas de una variedad algebraica (anillo afín sobre un campo algebraicamente cerrado)?

Hago esta pregunta por la siguiente razón. Dejemos que $K$ sea el anillo cociente total de $R$ . Escoge $f=a/b\in K$ entonces los polos de $f$ es Zariski cerrado en $X=\mathrm{Spec}(R)$ definido por el ideal $I=\{r\in R\mid rf \in R\}= \mathrm{Ann}((a,b)/(b))$ . En general, esperamos que sea un subconjunto de codimensión $1$ . Pero si uno de los primos asociados $Q$ está incrustado. Por definición, $Q$ es el aniquilador de un elemento $\bar{a}$ sur $R/(b)$ . Si elegimos $f=a/b$ para este particular $a$ entonces el $f$ tiene un polo a lo largo de $V(Q)$ y regular en todas partes, y eso va en contra de la expectativa "común".

Hasta ahora lo único que he podido encontrar es el "Teorema de la no mezcla" que implica que si el anillo $R$ es Cohen-Macaulay, entonces no habrá primos asociados incrustados. Pero tengo problemas para conseguir una prueba afirmativa o un contraejemplo en el caso general.

Gracias.

Edición: Acabo de darme cuenta de que a esta generalidad, el problema no tiene mucho sentido. Por ejemplo, si tomamos la variedad que es la unión de las $xy$ -y el $z$ -eje. T $R=k[x,y,z]/(xz,yz)$ y $x-z$ es un divisor no nulo en este anillo. Pero la función $f=x/(x-z)$ es regular en todos los puntos menos en el origen. En efecto, toma valor $0$ en todos los puntos no nulos de la $z$ -y el valor $1$ en los puntos no nulos del plano. El ideal $I$ definido anteriormente es el ideal máximo $(x,y,z)$ que tiene codimensión 2.

Así que me gustaría restringir al caso en el que $R$ es un dominio.

Answer 1

Lo que necesitas es un dominio local noetheriano que tenga dimensión $2$ pero la profundidad $1$ . Para un anillo local de este tipo $(R,\mathfrak m)$ y cualquier $b\in \mathfrak m$ , $b\neq 0$ lo sabemos: $$\text{depth}(R/bR) = \text{depth}(R)-1 =0.$$ De ello se desprende que $\mathfrak m$ es un primo asociado de $R/bR$ . Pero $\mathfrak m$ tiene altura $2$ .

(De hecho, para un dominio $R$ la condición de que los primos asociados de los ideales principales sean todos de altura uno es equivalente a $R$ que satisface la condición $(S_2)$ .)

Por lo tanto, basta con dar una $2$ -de un dominio noetheriano que no es Cohen-Macaulay. Un ejemplo de ello es $R = k[x^4,x^3y,xy^3,y^4]$ .