Encontrar la integral $$\int\dfrac{\sin x}{\sqrt{2}+\sin x+\cos x} \, dx$$
Mi idea: ya que $$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+\dfrac{\pi}{4})$$ así
$$\int\dfrac{\sin x}{\sqrt{2}+\sin x +\cos x} \, dx=\int\dfrac{\sin x}{\sqrt{2}(1+\sin (x+\dfrac{\pi}{4})} \, dx$$ Pero luego no sé cómo continuar. Gracias
Sugerencia: laboratorio de bhattacharjee de Weierstrass sustitución sugerencia es muy apropiado, por supuesto, pero sería bueno si más del álgebra tedio podría ser obviado. Trate,
$$\int\dfrac{\sin{x}}{\sqrt{2}+\sin{x}+\cos{x}}dx =\frac{1}{\sqrt{2}}\int\dfrac{\sin{x}}{1+\sin{(x+\dfrac{\pi}{4})}}dx\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int\dfrac{\sin{(\phi\frac{\pi}{4})}}{1+\el pecado{\phi}}d\phi\\ =\frac{1}{2}\int\dfrac{\sin{\phi}-\cos{\phi}}{1+\sin{\phi}}d\phi$$
Ahora uso el de Weierstrass de sustitución.
Es una buena idea. Por ningún motivo esencial, prefiero $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos(x-\pi/4)$. Haciendo la sustitución de $t=x-\pi/4$, y usando el hecho de que el $\sin x$ en la parte superior es igual a $\frac{\sin t+\cos t}{\sqrt{2}}$, llegamos a la integral $$\int\frac{1}{2}\frac{\sin t+\cos t}{1+\cos t}\,dt.$$
Ahora tenga en cuenta que $1+\cos t=2\cos^2(t/2)$, y expresar el numerador como $2\sin(t/2)\cos(t/2)+2\cos^2(t/2)-1$. El resto es cuesta abajo.
En general, de Weierstrass es probablemente una buena idea para tales integrales trigonométricas. Sin embargo, su progreso a la izquierda el denominador mucho más manejable. Me gustaría empezar como en David H la respuesta hasta el paso
$$\frac12\int\frac{\sin\theta-\cos\theta}{1+\sin\theta}d\theta$$
En lugar de Weierstrass a partir de aquí, basta con multiplicar por $\frac{1-\sin\theta}{1-\sin\theta}$
$$\frac12\int\frac{(\sin\theta-\cos\theta)(1-\sin\theta)}{1-\sin^2\theta}d\theta=\frac12\int\frac{\sin\theta-\cos\theta-\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta}{\cos^2\theta}d\theta=$$ $$\frac12\int\sec\theta\tan\theta d\theta-\frac12\int\sec\theta d\theta-\frac12\int(\sec^2\theta-1)d\theta+\frac12\int\tan\theta d\theta$$
Usted no debería tener problemas con los restantes integrales.
SUGERENCIA:
Vamos $$\sin x=A(\sqrt2+\sin x+\cos x)-B d(\sqrt2+\sin x+\cos x)+C$$
$$\implies\sin x=\sqrt2A+C+\sin x(A+B)+\cos x(A-B)$$
$$\implies A-B=0\iff A=B,A+B=1\implies A=B=\frac12,C=-\sqrt2A=\cdots$$
El uso de Weierstrass sustitución
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