¿Cuáles son los peligros de la exposición visual de las matemáticas?

Question

Lo he escuchado varias veces (como esta) que es peligroso para aprender/probar/enseñar matemáticas a través de imágenes. También he leído en algún sitio que muestra las matemáticas a través de imágenes ayuda a la intuición porque entendemos mejor a través de imágenes, debido a nuestra larga fecha de uso de la visión de sentido. Puedo concebir que esta información debe ser la mitad-cierto - puede haber cosas que se pueden enseñar con imágenes y cosas que no. A partir de aquí, tengo dos dudas:

1. ¿Qué puede y qué no puede ser aprendido/probado/enseña con imágenes y por qué?
2. El uso de las matemáticas de esta manera no es lo mismo geométrico pensamiento?

También estoy abierto a libros y/o artículos sobre este tema.

Answer 1

Argumentos matemáticos son de carácter formal y debe ser independiente de cualquier representación visual. Los principiantes podrían tener problemas para ver la distinción entre una válida y completa la prueba a partir de los axiomas y definiciones, y algo que "parece obvio".

Pero esto no significa que la intuición geométrica es inútil o que uno no se puede utilizar. Después de algún entrenamiento, uno a menudo puede juzgar si algunos visual argumento puede ser hecho en un argumento formal o no.

Esto hace que para una buena lectura sobre el tema: Terry Tao, no Hay más que matemáticas de rigor y pruebas

Answer 2

Los beneficios de la utilización de imágenes para ilustrar una prueba sencilla $-$ complicados argumentos y un sinfín de cadenas de símbolos puede ser muy difícil de entender y de imágenes puede ayudar a dar una imagen de lo que está sucediendo. Con adecuado ilustraciones usted puede conseguir la intuición de lo que va a ocurrir a continuación, y así sucesivamente.

Sin embargo, hay algunas bastante convincentes razones para no confiar en las imágenes en exclusiva, algunas de las que he enumerado a continuación.

• Mediante el uso de imágenes que son muy confinado en el llamado mundo real. Seguro, podemos obtener gran cantidad de intuición para la topología de baja dimensión mediante el dibujo de tori, pero esto no nos va a llevar lejos, si queremos estudiar $3$- o $4$-colectores, digamos colectores en las dimensiones superiores.

• Como categoría de la teoría, se ha hecho un buen trabajo de mostrar más de la mitad del último siglo o así, hay raíces profundas conexiones entre todo tipo de objetos matemáticos y los campos que no son en absoluto evidente. Si limitamos nuestra comprensión de ciertos objetos y los resultados a lo que vemos en las imágenes, entonces estas conexiones es probable que pase desapercibida.

• La matemática es todo acerca de la abstracción. Mediante el uso de imágenes como un medio de hacer matemáticas en lugar de simplemente ilustrar eso, estamos trabajando exclusivamente en el hormigón. Sólo porque el resultado se da en una imagen que he dibujado, ¿por qué hay que mantener en todo este tipo de fotos? Puede almacenar en otros entornos? Debemos sacar fotos de todos los ajustes con el fin de demostrar este resultado? Etc.

• El uso de imágenes para hacer matemáticas se basa en gran medida en la exactitud de las imágenes, como se ilustra en el enlace en su pregunta.

No es justo decir que el uso de las imágenes es el mismo geométrico pensamiento. Podría ayudar geométricos pensamiento, y que incluso podría formar la base de pensamiento geométrico, pero este pensamiento no es la matemática de la misma. Las matemáticas es lo que sigue, cuando la intuición se traduce en un argumento formal.

Esto no quiere decir que las imágenes no debe ser utilizado en su totalidad. De hecho, el no uso de ilustraciones pueden ser casi tan perjudicial como el uso de ellos en exclusiva! He mencionado la categoría de teoría, y no puedo decir cuánto más difícil sería entender si no usamos diagramas conmutativos.

Answer 3

Uno de los temas en donde las imágenes son muy útiles en la de van Kampen diagramas de combinatoria, teoría de grupos, para mostrar una relación es una consecuencia de otros. Aquí está un diagrama

la que se muestra (como te dejo de funcionar exactamente!) que la relación $x^7$ es una consecuencia de las relaciones

$$r= x^2yxy^3,\;\; s= y^2xyx^3.$$

Los $2$-dim imagen es muy importante, y a partir de esto, se puede trabajar con una expresión lineal de $x^7$ en $r,s$: esto se discute en torno a p. 72 del libro Nonabelian topología algebraica, de la que el anterior (no original) diagrama es prestado. Una búsqueda en internet "van Kampen diagramas" le da aún más elaborada, ejemplos, y más en la explicación.

La suposición de que la matemática es verdaderamente kosher sólo cuando se escribe en una línea de falla a la altura de lo que está pasando en las dimensiones superiores de álgebra, donde completamente argumentos válidos a menudo necesitan para poner en más de una dimensión. Uno, a continuación, se presenta el problema habitual de cómo uno escribe lo que es esencialmente un $3$-dimensional argumento en un pedazo de papel!