Para $ \nu \in \Bbb R$, yo quiero probar la conocida fórmula $$ J_\nu (x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left( x - \frac{2 \nu +1}{4} \pi \right) + O \left( \frac{1}{x^{3/2}} \right) \;\;\;\;(x \to \infty)$$ where $J_\nu$ denota la función de Bessel. ¿Cómo puedo mostrar esto? O me dices el sitio de Internet que demuestra esta fórmula? Yo no podía encontrar la prueba de ello.
Respuesta
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En primer lugar, algunos preliminar de la serie de expansiones. Considere la posibilidad de la sustitución $$ \cos(t)=1-u^2/2\etiqueta{1} $$ Tenemos el poder de la serie para $u=2\sin(t/2)$: $$ u=t-t^3/24+t^5/1920-t^7/322560+t^9/92897280+O(t^{11})\etiqueta{2} $$ y la inversa de la serie para $t$; $$ t=u+u^3/24+3u^5/640+5u^7/7168+35u^9/294912+O(u^{11})\etiqueta{3} $$
Tenemos que concentrarnos en los puntos estacionarios en$t=\pi/2$$t=-\pi/2$, lejos de que la integral decae exponencialmente en $x$. La contribución en $-\pi/2$ es el conjugado de la contribución en $\pi/2$, por lo que la contribución es el doble de la parte real de la contribución en $\pi/2$. $$ \begin{align} J_\nu(x) &=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-i(\nu t-x\sin(t))}\,\mathrm{d}t\\ &=2\mathrm{Re}\left(\frac1{2\pi}\int_0^\pi e^{-i(\nu t-x\sin(t))}\,\mathrm{d}t\right)\\ &=2\mathrm{Re}\left(e^{-i\nu\pi/2}\frac1{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} e^{-i\nu t}e^{ix\cos(t)}\,\mathrm{d}t\right)\\ &\sim2\mathrm{Re}\left(e^{-i\nu\pi/2}\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\left(1-\nu^2u^2/2+O(u^4)\right)e^{ix(1-u^2/2)}\left(1+u^2/8+O(u^4)\right)\,\mathrm{d}u\right)\\ &=2\mathrm{Re}\left(e^{i(x-\nu\pi/2)}\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\left(1-(4\nu^2-1)u^2/8+O(u^4)\right)e^{-ixu^2/2}\,\mathrm{d}u\right)\\ &=2\mathrm{Re}\left(e^{i(x-(2\nu+1)\pi/4)}\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\left(1+i(4\nu^2-1)v^2/8+O(v^4)\right)e^{-xv^2/2}\,\mathrm{d}v\right)\\ &=2\mathrm{Re}\left(e^{i(x-(2\nu+1)\pi/4)}\frac1{2\pi}\left(\sqrt{\frac{2\pi}{x}}+i\frac{4\nu^2-1}{8}\frac1{2\pi}\sqrt{\frac{2\pi}{x}}^3+O\left(x^{-5/2}\right)\right)\right)\\ &=\cos\left(x-\frac{2\nu+1}{4}\pi\right)\sqrt{\frac{2}{\pi x}}-\sin\left(x-\frac{2\nu+1}{4}\pi\right)\frac{4\nu^2-1}{8}\sqrt{\frac{2}{\pi x^3}}+O\left(x^{-5/2}\right) \end{align} $$ En el $\sim$ paso, hacemos el $u$ de sustitución cuya serie está dada anteriormente, y la integración de más de $(-\infty,\infty)$ en lugar de $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ desde la parte de fuera del intervalo compacto decae exponencialmente.
También usamos la sustitución de $u=e^{-i\pi/4}v$, por lo que el $u^2=-iv^2$, y cambiar la ruta de acceso de la integración, lo cual está permitido ya que no hay singularidades.
En la final, tenemos los dos primeros términos de la expansión asintótica de $J_\nu(x)$.
