Alguien me puede ayudar calcular la transformada de Fourier de $ 1/|x|^{n-\alpha} $ $\mathbb{R}^n $ donde $ 0 < \alpha < n $ ? De alguna manera se convierte en el principal valor de $ 1/|x|^\alpha $, lo que no puedo entender.
Respuesta
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Esto no es todo lo que un simple cálculo. Una técnica estándar (véase, por ejemplo, Stein Singular Integrales, III.3) es recordar que la transformada de Fourier de la Gaussiana es otro de Gauss, y usar eso como una función auxiliar. Es decir, si
$$f(x) = e^{-\pi \delta |x|^2},$$ $$\hat{f}(\xi) = \delta^{-\frac{n}{2}} e^{-\frac{\pi |\xi|^2}{\delta}}.$$
Esto es útil porque si uno invoca un cambio de variable en la definición de la función Gamma uno recupera la siguiente identidad: $$ \int_0^\infty e^{-\pi \delta |x|^2} \delta^{\beta -1} d\delta = \frac{\Gamma(\beta)}{(\pi|x|^2)^\beta}$$ Tomando la transformada de Fourier de la expresión anterior con respecto a $x$ rendimientos $$\int_0^\infty \delta^{\beta - \frac{n}{2} -1} e^{- \pi |\xi|^2 / \delta} d\delta = \int_0^\infty s^{-1 + \frac{n}{2} -\beta} e^{-\pi s |\xi|^2} ds = \frac{\Gamma(\frac{n}{2} -\beta)}{(\pi |\xi|^2)^{\frac{n}{2} -\beta}} $$ Establecimiento $\beta = \frac{n-\alpha}{2}$, obtenemos el resultado deseado.
