Un comentario en categorías trianguladas y localizaciones en Kashiwara & Schapira *Poleas en los Colectores*

Question

Estoy teniendo un poco de dificultad para entender el siguiente comentario en Kashiwara & Schapira de Poleas en los Colectores:

Dado que el término "sistema nulo" no parece ser muy común, aquí está la definición, junto con su principal aplicación:

La notación $\mathcal{C}/\mathcal{N}$ en el comentario representa la localización de $\mathcal{C}$ $S(\mathcal{N}).$ El functor $Q$ es la canónica functor el envío de un morfismos $f:X \rightarrow Y$ a la azotea $X \xleftarrow{1} X \xrightarrow{f} Y.$

Ahora, yo estoy muy bien con una dirección. Es decir, es bastante claro que si no existe $Y$ tal que $X \oplus Y \in \mathcal{N},$ $Q(X) \cong 0,$ de los nidos categoría y nulo sistema de axiomas muestran que $X \oplus Y$ $\mathcal{N}$ es equivalente al cero de morfismos $X \oplus Y \rightarrow 0$ $S(\mathcal{N}).$ por lo tanto $0 \leftarrow X \oplus Y \rightarrow X$ es un techo en $\mathcal{C}/\mathcal{N},$, de modo que el diagrama de

muestra que $X$ es isomorfo a $0$ en la localización (en este caso $i,$ resp. $p,$ es la inclusión canónica, resp. la proyección).

La otra dirección, todavía no está claro para mí. Tenemos un diagrama de techos

,

donde $Z \in \mathcal{N}$ $f \circ g = 1.$ he tratado de mostrar que el $Z \cong X \oplus X[1],$ pero no creo que es verdad.

Su ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Los morfismos $g\colon X \to Z$ se encuentra en un distinguido triángulo$\require{AMScd}$ $\DeclareMathOperator{Hom}{Hom}$ $$ \begin{CD} X @>g>> Z @>g'>> Y @>\delta>> X[1] \end{CD} $$ La relación $fg = 1_X$ implica que el $g$ es monic. Dado que la composición de mapas consecutivos en un distinguido triángulo es igual a cero, $g \circ (\delta[-1]) = 0$, y esto implica que $\delta[-1] = 0$. Por lo tanto,$\delta = 0$.

Observar ahora que tenemos una de morfismos de distinguidos triángulos \begin{CD} X @>g>> Z @>g'>> Y @>0>> X[1]\cr @VV{1_{X}}V @VV{[f \; g']^t}V @VV{1_{Y}}V @VV1_{X[1]}V \cr X @>[1_X \; 0]^t>> X \oplus Y @>[0\;1_Y]>> Y @>0>> X[1] \end{CD} y podemos deducir a partir de los cinco lema para los nidos de las categorías que $[f \; g']^t\colon Z \to X \oplus Y$ es un isomorfismo.