a) Que $\,f\,$ sea una función analítica en el disco perforado $\,\{z\;\;;\;\;0<|z-a|<r\,\,,\,r\in\mathbb R^+\}\,$ . Demostrar que si el límite $\displaystyle{\lim_{z\to a}f'(z)}\,$ existe finitamente, entonces $\,a\,$ es una singularidad removible de $\,f\,$
Mi solución y mi duda: Si desarrollamos $\,f\,$ es una serie de Laurent en torno a $\,a\,$ obtenemos $$f(z)=\frac{a_{-k}}{(z-a)^k}+\frac{a_{-k+1}}{(z-a)^{k-1}}+\ldots +\frac{a_{-1}}{z-a}+a_0+a_1(z-a)+\ldots \Longrightarrow$$ $$\Longrightarrow f'(z)=-\frac{ka_{-k}}{(z-a)^{k+1}}-\ldots -\frac{a_{-1}}{(z-a)^2}+a_1+...$$ y como $\,\displaystyle{\lim_{z\to a}f'(z)}\,$ existe finamente entonces debe ser que $$a_{-k}=a_{-k+1}=...=a_{-1}=0$$ consiguiendo que la serie anterior para $\,f\,$ es, de hecho, una Taylor y por lo tanto $\,f\,$ tiene una singularidad extraíble en $\,a\,$ .
Mi duda: ¿hay alguna otra forma "más obvia" o más elemental de resolver lo anterior sin tener que recurrir a diferenciar a término esa serie de Laurent?
b) Evaluar, utilizando algún contorno complejo, la integral $$\int_0^\infty\frac{\log x}{(1+x)^3}\,dx$$
La primera duda: se da en este ejercicio la pista(?) para utilizar la función $$\frac{\log^2z}{(1+z)^3}$$ Por favor, ¡notemos el cuadrado en el logaritmo! Ahora bien, ¿se trata de un error tipográfico o tal vez sea realmente útil hacerlo de esta manera? Tras comprobarlo con WA, la integral real original es igual a $\,-1/2\,$ y, de hecho, se puede hacer sin necesidad de utilizar funciones complejas, y aunque el resultado es bastante feo sin embargo, es una función elemental (racional con logaritmos, no hipergeométrica o Li o cosas así).
La integral real con el logaritmo al cuadrado da el hermoso resultado de $\,\pi^2/6\,$ pero, de nuevo, no estoy seguro de que "la pista" sea un error tipográfico.
Segunda duda: En cualquiera de los casos (logaritmo al cuadrado o no), ¿cuál sería el mejor contorno a elegir? He pensado en utilizar una cuarta parte del círculo $\,\{z\;\;;\;\;|z|=R>1\}\,$ menos un cuarto del círculo $\,\{z\;\;;\;\;|z|=\epsilon\,\,,0<\epsilon<<R\}\,$ en el primer cuadrante ambos, porque
$(i)\,$ para obtener los límites correctos del $\,x\,$ -eje al pasar a los límites $\,R\to\infty\,\,,\,\epsilon\to 0\,$
$(ii)\,$ Para evitar la singularidad $\,z=0\,$ del logaritmo (¡por no hablar de dar la vuelta y cambiar de rama logarítmica y cosas horribles como ésta!)
Bueno, estoy bastante atascado aquí con las evaluaciones en los diferentes segmentos del camino, además de estar desconcertado por "la pista", y definitivamente necesito algo de ayuda aquí.
Como antes: se supone que estos ejercicios son para un primer curso de variable compleja y, por lo tanto, creo que deben ser más o menos "elementales", aunque esta integral se ve realmente mal.
Por el tiempo que te has tomado en leer este largo post ya te doy las gracias, y cualquier ayuda, pista o idea será muy apreciada.
