Puede alguien darme una secuencia de (valor real) de las funciones, por ejemplo en $[0,1]$ con la medida de Lebesgue, de tal manera que la secuencia converge en probabilidad, o tal vez en $\Vert \cdot \Vert _{L^2}$, pero no converge casi seguramente?
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Davide Giraudo
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Considere la posibilidad de una secuencia $\{X_n\}$ de los independientes de variables aleatorias tales que $P(X_n=1)=\frac 1n$$P(X_n=0)=1-\frac 1n$. Para $\varepsilon<1+2$ tenemos $P(|X_n|\geq \varepsilon)=\frac 1n$ que converge a $0$ por lo tanto $X_n\to 0$ en la probabilidad. Desde $\sum_{n\geq 1}P(X_n=1)=+\infty$ y los eventos $\{X_n=1\}$ son independientes, tenemos que $P(\limsup_n \{X_n=1\})=1$ por lo tanto la secuencia de $\{X_n\}$ no concurre $0$ en casi todas partes (de hecho, el conjunto en el que no convergen a $0$ probabilidad de $1$).
Contra-ejemplo para la convergencia en $L^p$ ya han de ser proporcionados, pero creo que el ejemplo que he dado es también útil.
Drejon
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El ejemplo más común es el de "deslizamiento joroba." Lo que debemos hacer es cortar la $[0,1]$ a, digamos, dos intervalos de $[0,1/2]=I_{1}$$[1/2, 1]=I_{2}$. A continuación, establezca $f_{1}=\chi_{I_{1}}$ y $f_{2}=\chi_{I_{2}}$. Luego, cortar $[0,1]$ en tres intervalos, y considerar el carácter de las funciones de aquellos. Set $f_{3}, f_{4},$ $f_{5}$ a ser la característica de las funciones de los intervalos. Repita este proceso para $n=1, 2, \dots$. Es fácil ver que $\{f_{n}\}$ converge a la $0$ funcionar tanto en la probabilidad y en $L^{p}$$0<p<\infty$.
La secuencia de funciones no converge en casi todas partes (de hecho, se converge en ningún lugar), ya que cada punto de la tierra en infinitamente muchos de nuestros pequeños intervalos, y se encuentran fuera de la infinidad. Por lo tanto, podemos encontrar las subsecuencias de $\{f_{n}\}$ que enviar a nuestro punto dado a $0$ y subsecuencias que enviarlo a $1$.
