Base para $\mathbb{[Q(\pi):Q]}$

Question

Estoy tratando de averiguar si la base de la $\mathbb{Q}(x)$ $\mathbb{Q}$ contables al $x$ es trascendental. Sé que los elementos en $\mathbb{Q}(x)$ serán funciones racionales en $x$, por lo que son contables como números algebraicos.

Deje que el rango de ser la suma de los coeficientes y de los grados de los polinomios en el denominador y el numerador.

Así que pasa la condición necesaria para que los contables de base descritas por Asaf Karagila en Contables/incontables base del espacio vectorial. No tengo más ideas para ir con.

Editar:

Obviamente una base tendrá que ser contable, si el espacio es contable. Entonces, ¿cómo hago para encontrar una base?

Answer 1

Voy a responder a mi propia pregunta con la sugerencia de GEdgar en los comentarios. $\mathbb Q[x]$ es un Dominio Euclídeo y por el teorema de Fracciones Parciales

Deje $f$ $g$ ser distinto de cero polinomios sobre un campo $K$. Escribir $g$ como un producto de potencias de los distintos polinomios irreducibles :

$$g=\prod_{i=1}^k p_i^{n_i}$$

Hay (único) de los polinomios de $b$ $a_{ij}$ con deg$(a_{ij})<$gr$(p_i)$ tal que

$$\frac{f}{g}=b+\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i}\frac{a_{ij}}{p_i^j}$$

Si deg$(f)<$gr$(g)$,$b=0$.

Deje $\mathcal{B_1}=\{x^n : n\in\mathbb{N}\}$$\mathcal{B_2}=\left\{\dfrac{x^n}{p^m} : p \text{ is a monic irreducible and } 0\le n < \text{deg}(p)\right\}$.

El teorema implica $\cal B_1 \cup B_2$ es una base para $\mathbb Q(x)$ $\mathbb Q$