La geometría algebraica en la teoría de la representación?

Question

He oído que hoy en día la geometría algebraica juega un papel de importancia en la teoría de la representación, que es un poco sorprendente, porque cuando me enteré de teoría de la representación es, básicamente, álgebra, topología, geometría diferencial y un poco de análisis funcional.

Me pregunto si alguien me puede decir cómo la geometría algebraica entra en la imagen. Yo no sé mucho de geometría algebraica, así que estoy buscando algunos expositiva, así que tal vez nos podemos olvidar de los detalles por ahora.

Muchas gracias!

Answer 1

Muchos de los modernos teóricos de la representación están interesados en "representación geométrica de la teoría". Uno de los objetivos en este campo es darse cuenta de una representación (por ejemplo, una representación de una Mentira álgebra) geométricamente. Lo que esto significa es darse cuenta de que el subyacente espacio vectorial como (co)homología de algunos algebraica de la variedad y de la acción (por ejemplo, la acción de la Mentira álgebra) a través de algunos geométricamente definido las operaciones, tales como la copa de productos o de convolución. Hay varias razones por las que uno quisiera hacer esto. Uno de los más importantes (en mi opinión) es que el enfoque geométrico a menudo se produce muy agradable bases en la representación, por ejemplo, bases de cuya estructura coeficientes son enteros positivos (es decir, cuando se escribe el producto de una base de dos elementos como una combinación lineal de la base de los elementos, los coeficientes son enteros positivos). Estas bases pueden ser difíciles de definir desde una perspectiva puramente algebraica punto de vista.

Answer 2

Tal vez el siguiente podrían ser de interés para usted: Deje $X$ ser una suave curva proyectiva sobre $\mathbb{C}$ de género $\geq 2$. Es un clásico teorema de por Narasimhan y Seshadri que hay una equivalencia de categorías entre la categoría de estable vector de paquetes de grado $0$ $X$ y la categoría de irreductible, unitario, finito dimensionales complejo de representaciones de $\pi_1(X)$. También hay $p$-ádico versiones debido a la C. Deninger y A. Werner. Por lo tanto, a la hora de estudiar las representaciones de un profinite grupo, puede ser útil para darse cuenta de como el grupo fundamental de una curva, utilice el teorema anterior y clasificar las representaciones por medio de geométrica. Pero no estoy realmente seguro de si esto ha ocurrido hasta ahora.