Un mínimo de axiomas para un grupo

Question

Mi teoría de grupos es muy oxidado. Si yo sólo quería comenzar con la izquierda inversas y a la izquierda identidades, debo enlace de los axiomas, o puedo dejarlos independiente?

por ejemplo, es suficiente decir "existe al menos una $e \in G$ s.t. $ea=a$ todos los $a \in G$" y "para cada una de las $a$ $G$ existe $a^{-1} \in G$ s.t. $a^{-1}a$ es una identidad", o debo decir "existe al menos una $e \in G$ s.t. ($ea=a$ todos los $a \in G$, Y para cada una de las $a \in G$ existe $a^{-1} \in G$ s.t. $a^{-1}a=e$)".

Este parece que debe ser un FAQ, pero no puedo encontrarlo. Si yo no asumo que la vinculación, me encuentro en problemas donde mostrar (por ejemplo) que si $a^{-1}a=e_1$, $b=aa^{-1}$, $b^{-1}b=e_2$, a continuación,$b=e_2$. Que va a obtener de mí cosas como $ae_1=a$, pero no es el caso general.

Answer 1

La principal dificultad con la primera redacción que tiene es en el sentido de "identidad" en la primera formulación. Es necesario conectar la identidad de la inversa de la cláusula de la identidad a partir de la identidad de la cláusula.

Es decir, si usted requiere:

1. La operación $\cdot$ es asociativa;
2. Existe $e\in G$ tal que $e\cdot x = x$ todos los $x\in G$; y
3. Para cada $x\in G$ existe $y\in G$ tal que $yx=e$ (el mismo $e$ a partir de 2)

entonces ¿ tiene suficiente para garantizar un grupo. Si reemplaza $3$ con:

3'. Para cada $x\in G$ existe $y\in G$ tal que para todo $z\in G$, $(yx)z = z$.

entonces usted no tiene suficiente, ya que el ejemplo dado por Chris Águila muestra.

Con 1, 2, y 3, sin embargo, usted puede establecer lo que usted tiene un grupo de la siguiente manera:

Paso 1. Si $x\in G$ satisface $xx=x$,$x=e$.

Prueba. Deje $y\in G$ ser tal que $yx=e$. A continuación,$e = yx = y(xx) = (yx)x = ex=x$.

Paso 2. Deje $x\in G$ y deje $y$ ser tal que $yx=e$. A continuación, $xy=e$

Prueba. $(xy)(xy) = x((yx)y) = x(ey) = xy$; por lo tanto, por el paso 1, $xy=e$.

Paso 3. $xe=x$ todos los $x\in G$.

Prueba. Deje $y$ ser tal que $yx=e$; a continuación, $xy=e$ por el Paso 2, por lo que $$xe = x(yx) = (xy)x = ex = x.$$

Por lo tanto, $e$ es un dos caras de la identidad, y la recíproca de 3 son de dos caras, a la recíproca, dando a un grupo.

Answer 2

Supongamos $X$ es cualquier conjunto con al menos dos elementos, y considerar la operación binaria $*$$X$$x*y=y$. A continuación, $*$ es claramente asociativa, y todo lo que está a la izquierda de la identidad. Así, en su sentido débil, todo lo que está a la izquierda de la inversa de todo. Pero, por supuesto, $(X, *)$ no es un grupo.

Answer 3

Es el vinculado definición que es formalmente correcta, por lo que es preferible. El problema es que la desvincula de la definición se ha vuelto tan normal que nos quedamos con ella, y la mayoría de los libros de texto de uso.

De hecho, la forma en que generalmente se indica admite (al menos) dos distintas interpretaciones plausibles. Estamos suponiendo que la inversa axioma para algunos $e$ que satisface el axioma de identidad, o para todos los $e$? Por supuesto, resulta que esto no hace ninguna diferencia, pero no sabemos que en un a priori.