Informe sobre algunos experimentos básicos. Para $n \leq 30$, hay un autovalor positivo y todos los demás son negativos.
He comprobado esto con el siguiente Mathematica comando:
mm[n_] := Table[Sqrt[i^2 + j^2], {i, 1, n}, {j, 1, n}]
Table[Count[Sign[Eigenvalues[SetPrecision[mm[n], 50]]], 1], {n, 1, 30}]
SetPrecision
dice Mathematica para el tratamiento de las raíces cuadradas como números de punto flotante con $50$ dígitos decimales de precisión. Si le tratan como cantidades exactas, los tiempos de cómputo; si se utiliza el valor predeterminado exactitud no recibe las señales de los más pequeños los valores propios de la derecha. El más pequeño de los autovalores aquí están alrededor de $10^{-30}$, por lo que necesita ser cuidado.
Probablemente la forma más fácil de probar que esto sería para exhibir una $n-1$ dimensiones subespacio en el que esta matriz es negativa definida. Me tomé mi primera conjetura, el espacio de los vectores $(1, -1,0,0,0,\ldots)$, $(0,1,-1,0,0,\ldots)$, $(0,0,1,-1,0,0,\ldots)$, ...
(* Change of basis matrix to the n-1 dimensional space. *)
ss[n_] := Table[If[i == j, 1, If[i == j + 1, -1, 0]], {i, 1, n}, {j, 1, n - 1}]
(* Quadratic form in the new basis. *)
qq[n_] := Transpose[ss[n]].mm[n].ss[n]
Table[PositiveDefiniteMatrixQ[SetPrecision[-qq[n], 50]], {n, 2, 30}]
Para $n \leq 30$, el qudratic forma es negativa definida en esta $n-1$ plano.