¿Por qué métrica del espacio que tiene el contable de la cadena de condición implica separables?

Question

He mirado todo pero todo lo que pude encontrar es que si X es separable, entonces X tiene la ccc. ¿Alguien puede darme alguna ayuda?

Answer 1

Deje $X$ ser (no vacío). c.c.c. espacio métrico. Un ratito vamos a arreglar un entero positivo $n\geq 1$.

Deje $\mathscr{F}_n$ ser parte de la familia de las clases de abrir las bolas de radio $1/n$ ( $X$ ) que son pares distintos. En otras palabras, un elemento de $\mathscr{F}_n$ es una clase de $\mathcal{C}$, cuyos elementos están abiertas las bolas, decir $B^\mathcal{C}_i$, de radio $1/n$, y de tal manera que $B^\mathcal{C}_i\cap B^\mathcal{C}_j=\varnothing$ si $i\neq j$.

Podemos parcialmente la orden de $\mathscr{F}_n$ por la inclusión. Es un ejercicio fácil para comprobar que cada cadena en $\mathscr{F}_n$ tiene un límite superior (dado que, obviamente, por la unión de los elementos de la cadena) y una aún más fácil de demostrar que $\mathscr{F}_n\neq\varnothing$- . Por el Lema de Zorn, $\mathscr{F}_n$ ha un elemento maximal, decir $\mathcal{C}_n$. Desde abrir las pelotas están abiertas y $X$ es c.c.c., $\mathcal{C}_n$ es enumerable. También, ya que los elementos son de bolas, podemos encontrar el punto de $x^n_1,x^n_2,\ldots\in X$ tal que $$\mathcal{C}_n=\left\{B_{1/n}(x^n_1),B_{1/n}(x^n_2),\ldots\right\}$$ (donde $B_r(x)=\left\{y\in X:d(x,y)<r\right\}$, como de costumbre)

Ahora, podemos hacer el procedimiento anterior para cada entero positivo $n\geq 1$, encontrando la máxima clases de $\mathcal{C}_n$ de pares bolas disjuntas de radio $1/n$ y centros de $x^n_1, x^n_2,\ldots$ Ahora, vamos a $D$ ser el conjunto de todos los $x^n_i$. A continuación, $D$ es obviamente enumerable, y nos dicen que es denso en $X$.

De hecho, si no fuera, podríamos encontrar un punto de $y\in X$ y un entero positivo $N\geq 1$ tal que $B_{2/N}(y)\cap D=\varnothing$. Por lo tanto, para todos los $x\in D$,$B_{1/N}(x)\cap B_{1/N}(y)=\varnothing$. Ahora, podemos considerar el conjunto $C'_N=\left\{B_{1/N}(y)\right\}\cup C_N$. Es obvio entonces que la $C'_N\in\mathscr{F}_N$ $C'_N$ es estrictamente mayor que $C_N$, contradiciendo es maximality.

Podemos concluir que los $D$ es un enumerable denso conjunto en $X$ que por lo tanto es separable.

Answer 2

Una prueba usando $\sigma$discreto de bases: vamos a $(X,d)$ ser un espacio métrico con la ccc. A continuación, para cada una de las $n \in \mathbb{N}$, vamos a $D_n = \{ B(x, \frac{1}{n}) : x \in C_n \}$, un máximo (por la inclusión: no podemos agrandar esta familia) la desunión de la familia de abrir bolas en $X$, todos los de la radio de $\frac{1}{n}$. El conjunto $C_n$ está aquí (por definición) el conjunto de los centros de estas bolas. Un simple lema de Zorn aplicación muestra que una familia existe, para cada una de las $n$. Como $X$ ha ccc, cada una de las $C_n$ es una contables conjunto.

Yo reclamo que $D = \cup_n D_n$ es denso en $X$. Con este fin, nos muestran que la $D$ cruza cada balón $B(x,\frac{1}{k})$. Supongamos que no. A continuación, en particular, para cada $y \in C_{2k} \subset D$, $d(x,y) \ge \frac{1}{k}$, lo que implica que el balón $B(x, \frac{1}{2k})$ es disjunta de todas las bolas $B(y, \frac{1}{2k})$ donde $y \in C_{2k}$, y esto a su vez significa que nos podía haber ampliado $D_{2k}$ mediante la adición de la bola de $B(x, \frac{1}{2k})$ a, contradice la forma en que elegimos el $D_n$. Esta contradicción se completa la prueba, como se $D$ es una contables denso conjunto en $X$.

Answer 3

Deje $X$ ser un ccc de espacio métrico. Desde $X$ es la métrica, tiene un $\sigma$discreto de base $\mathscr{B}=\bigcup_{n\in\omega}\mathscr{B}_n$. En particular, cada una de las $\mathscr{B}_n$ es de a pares distintos de la familia de bloques abiertos, por lo tanto contables, y $\mathscr{B}$, por lo que también contables. Por lo tanto, $X$ es segundo contable y, por tanto, separable.

Más generalmente, si $c(X)=\kappa$, entonces cada uno de los countably muchos discretos familias de una $\sigma$discreto de base para $X$ tiene cardinalidad en la mayoría de las $\kappa$, lo $w(X)\le\kappa$. Por otro lado, siempre es cierto que $c(X)\le w(X)$, por lo que si $X$ es la métrica que siempre tenemos a $c(X)=w(X)$. Y ya

$$c(X)\le d(X)\le hd(X)\le nw(X)\le w(X)$$

en cualquier espacio, obtenemos la igualdad de la celularidad, la densidad, la hereditario densidad, peso neto y peso en espacios métricos.