La categoría de localmente $P$ espacios

Question

Dejemos que $P$ sea una clase de espacios topológicos (por ejemplo, espacios compactos).

La clase de los locales $P$ consiste en aquellos espacios en los que cada punto tiene una base de vecindad que consiste en $P$ espacios. La clase de espacios débilmente locales $P$ consiste en aquellos espacios en los que cada punto tiene una vecindad en $P$ .

Pregunta. ¿Cuáles son algunas propiedades categóricas de la categoría de localmente $P$ que no son compartidos por la categoría de espacios débilmente locales $P$ espacios, o viceversa? Si es necesario, suponga que $P$ se cierra con operaciones adecuadas.

Esto podría arrojar algo de luz sobre la cuestión de cuál de las dos definiciones de localmente $P$ espacios es más "natural". (Y ya puedes adivinar mi preferencia).

Answer 1

Empecemos por lo obvio: si un espacio topológico es $P$ entonces es débilmente local $P$ pero no necesariamente a nivel local $P$ . Por ejemplo, todo espacio conectado es débilmente conectado localmente pero no necesariamente conectado localmente. Por otro lado, más o menos por definición, un espacio topológico es localmente $P$ si y sólo si todo subespacio abierto de ella es débilmente local $P$ . Así, localmente $P$ coincide con el local débilmente $P$ si y sólo si cada subespacio abierto de cada $P$ espacio es débilmente local $P$ . Por ejemplo, un espacio topológico es localmente $T_1$ (resp. Hausdorff) si y sólo si es localmente débil $T_1$ (resp. Hausdorff). La mejor situación es cuando débilmente localmente $P$ y localmente $P$ coinciden.

Es fácil ver que los productos finitarios de los débiles locales $P$ son débilmente locales $P$ si y sólo si los productos finitos de $P$ son débilmente locales $P$ . Además, si los productos finitarios de débilmente locales $P$ son débilmente locales $P$ , entonces los productos finitos de localmente $P$ espacios son localmente $P$ . La situación con los pullbacks parece más complicada. En el caso de que los subespacios abiertos de $P$ los espacios son $P$ , se puede utilizar el argumento habitual Parcheando para mostrar que la categoría de localmente $P$ espacios (= débilmente localmente $P$ espacios aquí) está cerrado bajo pullbacks en $\mathbf{Top}$ si la categoría de $P$ espacios es. Una versión más cuidadosa de este argumento nos permite abandonar la hipótesis de que los subespacios abiertos de $P$ los espacios son $P$ pero entonces sólo podemos concluir para el caso local $P$ espacios. No es obvio para mí si hay o no una manera de hacer que el argumento funcione para espacios débilmente locales $P$ espacios.