A la hora de resolver las incógnitas, ¿por qué los símbolos a veces el cambio de $a + $ $a -$o viceversa, o se mantiene igual?
Por ejemplo (el uso de soluciones de texto): $2x+6 = x+16\quad$ y la solución es $2x-x = 16-6\quad \Rightarrow \quad x=10$.
O
$8x-12 = -3x+21\quad $Solución: $8x+3x = 21+12\quad \Rightarrow \quad 11x = 33\quad \Rightarrow \quad x=3$
El principio básico de la escuela secundaria y la escuela secundaria álgebra es el uso de operaciones inversas.
Lo que estamos viendo aquí es el uso repetido de el hecho de que $+$ tiene la operación inversa $-$ $\times$ tiene la operación inversa $\div$.
Más técnicamente hablando, vemos que estas ecuaciones se pueden resolver porque hay inversos de los elementos de cada elemento en la ecuación. Podemos deshacer las operaciones que están presentes en la ecuación, que nos permite encontrar la solución para $x$ o a cualquier variable está presente.
Me parece que las ecuaciones cuadráticas explicar realmente lo importante de estas observaciones fundamentales. Damos por sentado en la escuela intermedia, escuela secundaria, y a veces en la universidad que para un polinomio $ax^2+bx+c=0$ hay dos soluciones: $$x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \text{ and } x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$
Sin embargo, piense en esto: ¿y si no había tal cosa como $\frac{1}{2a}$? Tan absurdo como esta pregunta puede parecer a usted ahora, este tipo de pensamiento es muy importante en la matemática superior. Es la existencia del elemento inverso $\frac{1}{2a}$ (entre otros elementos) que nos permite resolver estas ecuaciones cuadráticas. Esta misma situación se presenta en las ecuaciones lineales y otras ecuaciones.
A riesgo de parecer tontos o ignorantes (no estoy del todo seguro con álgebra abstracta), me gustaría explicar por qué las preguntas anteriores y otras son tan relevantes. La fórmula cuadrática no siempre funciona. Sí, en la escuela secundaria, siempre funciona. Pero, ¿por qué? Porque estamos considerando la ecuación de $ax^2+bx+c=0$ $a,b,c,x$ en el campo de $(\mathbb{C},+,\cdot)$. Usted no puede saber lo que un campo es ahora mismo, pero me puede dar una idea de por qué es un concepto interesante, y cómo se relaciona con la esencia de su pregunta.
El campo $(\mathbb{C},+,\cdot)$ es la colección de todos los elementos que están compuestas de uso de la adición y multiplicación de números complejos. (La división y la resta son técnicamente no es relevante: Se puede agregar cualquier número negativo para realizar la resta y de la misma manera multiplicar cualquier fracción de dividir.) Lo importante aquí es este: Las características del campo que se está trabajando en lo que determina las ecuaciones tienen solución! Esa es la belleza de álgebra abstracta (bueno, uno de los muchos) para mí. No es simplemente, "sabemos que $x$ es bla, bla." Es que nosotros sabemos que hay siempre va a ser una solución a determinados conjuntos de ecuaciones sobre la base de las características de nuestro campo.
Estoy divagando un poco, pero espero que esto fue esclarecedor!
P. S. Todos ustedes en las Matemáticas.SE que son mucho más inteligentes que yo, por favor que me diga si he masacrado a cualquiera de los tecnicismos. Me disculpo profusamente si ese es el caso, y voy a corregirlo tan rápidamente como sea posible. Gracias.
Por ejemplo: $2x+6 = x+16$, y la solución es $2x-x = 16-6\Rightarrow x=10$.
Aquí, vamos a empezar añadiendo $-x$ a ambos lados de la ecuación $2x +6 = x+16$: $$-x + 2x+6 = -x + x + 16$$ $$\leftrightarrow x+6 = 16.$$
Siguiente: la Adición de $-6\,$ a cada lado de la ecuación nos da: $$x + 6 + (-6) = 16 + -6$$ $$\leftrightarrow x + 0 = 16 - 6 $$ $$\leftrightarrow x = 10$$
La solución para $x$$8x-12 = -3x+21$:
Agregar $3x$ a cada lado de la ecuación, Y agregar $12$ a ambos lados de la ecuación. Esto le da: $$3x + 8x -12 + 12 = 3x + -3x + 21 + 12$$ $$\leftrightarrow 11x + 0 = 0 + 21 + 12$$ $$\leftrightarrow 11x =33$$ $$\leftrightarrow x = 3.$$
Tenga en cuenta que en el último paso, dividimos ambos lados de la ecuación por $11$ (que es el mismo que multiplicar ambos lados de la ecuación por $\frac{1}{11}$).
El objetivo a la hora de resolver por un desconocido, decir $x$, es conseguir que todos los múltiplos de $x$ en el lado izquierdo, y todas las constantes en el lado derecho. Luego de simplificar. Mientras que usted está sumando (o restando) el mismo valor de cada lado de la ecuación, y como siempre que multiplicar (o dividir) los dos lados de una ecuación por el mismo valor, la igualdad se mantiene sin cambios.
En primer lugar, usted debe entender que si tenemos una declaración como $n = m$, $n$ es igual a $m$. Eso significa que $n + 1 $ es ESTRICTAMENTE igual a $m$. Eso también significa que $2m = 2n$, ${n \over 2} = {m \over 2}$ y otras cosas.
Lo que siempre hacemos en ecuaciones lineales es, en término de lujo, "aislar" la variable. ¿Qué es el aislamiento? Aislar una variable es llevar a cabo ciertas acciones para ambos lados (importante) con el fin de tener una variable en un lado y de una constante de la otra, si es posible. Tengo un ejemplo más adelante, pero antes...
Su regla básica es que usted tiene que hacer lo mismo en ambos lados. Usted puede hacer cualquier cosa, pero para que te llevan a una respuesta, usted tiene que seguir un sugirió la regla: "$\rm AS-MD$"
Nota: aplique esta regla a la variable del lado-el lado que tiene la variable requerida para ser resuelto.
Veamos un ejemplo ahora. $$2x + 1 = 5$$An effective way is to subtract one from both sides according to the rule.$$\begin{align}2x + 1 - 1& = 5 - 1 \\ 2x&=4\end{align}$$Now that we have nothing to subtract or add, let's try the multiply/divide part. Yes, we can divide $2$ from both sides. $${2x \over 2} = {4 \over 2} \quad \Rightarrow \quad x = 2$$
Ahora, que usted consigue la idea básica, vamos a tratar de resolver la ecuación a través de la forma en que usted sugiere. $$\begin{align}2x + 1 &= 5 \\ \\ 2x & = 5 - 1 \\ \\ 2x & = 4 \\ \\ x &= {4 \over 2} \\ \\ x & = 2 \end{align}$$ Now, I cannot prove rigorously, but I can tell you that the sign changing seems something fancy but is based on the idea of doing the same things on both sides. The intution: $$a + m = b \quad \Rightarrow \quad a = b-m $$ Which is derived by, $$\begin{align} a + m - m & = b - m \\ \\ a + \underbrace{( m - m)}_{\text{always zero}}& = b - m \\ \\ a &= b - m\end{align}$$
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