Evaluar la integral $\int \frac{1}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-2)^2}}\mathrm dx$

Question

¿Qué sustitución es útil para esta integral?

$$\int \frac{1}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-2)^2}}\mathrm dx$$

Sustituciones $u=x^{\frac{2}{3}},u=(x+1)^{\frac{2}{3}},u=(x-2)^{\frac{2}{3}}$ no funcionan.

No encuentro una sustitución trigonométrica útil.

Answer 1

Encontré una sustitución interesante por un poco de ensayo y error. $$\begin{align} x&=\frac{1+3\sin(u)}{2}\\ \therefore dx&=\frac{3\cos(u)}{2}du\\ x+1&=\frac{3+3\sin(u)}{2}&&=\frac{3(1+\sin(u))}{2}\\ x-2&=\frac{3\sin(u)-3}{2}&&=\frac{3(\sin(u)-1)}{2}\\ \therefore (x+1)(x-2)&=\frac{9(\sin^2(u)-1)}{4}&&=-\frac{9\cos^2(u)}{4} \end{align}$$ El uso de estos conduce a esta interesante integral final: $$\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}}\int\frac{du}{\cos^{\frac{1}{3}}(u)}$$

Answer 2

Cambiar la variable a $$x - \frac12 = \frac32 u \iff u = \frac{2x-1}{3} \quad\text{ followed by }\quad (u^2-1)^{1/3} = v \iff u = \sqrt{1+v^3}$$ Tenemos $$\int\frac{dx}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-2)^2}} = \int\frac{dx}{(x^2-x-2)^{2/3}} = \int\frac{dx}{\left(\left(x-\frac12\right)^2-\frac{9}{4}\right)^{2/3}}\\ = \left(\frac{2}{3}\right)^{1/3}\int\frac{du}{(u^2-1)^{2/3}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{1/3}\int\frac{d\sqrt{1+v^3}}{v^2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2/3}\int \frac{dv}{\sqrt{1+v^3}} $$ Utilizando el resultado de este responder , la integral se convierte en

$$\frac{3^{5/12}}{2^{2/3}} \left.F\left(\cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}+\sqrt[3]{\frac49(x+1)(x-2)}}-1\right)\right|\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right) + \text{constant}$$ donde $\displaystyle\;F(\phi|m) = \int_0^\phi \frac{d\theta}{\sqrt{1-m(\sin\theta)^2}}\;$ es el integral elíptica incompleta del primer tipo .

Answer 3

Como comenta Brevan Ellefsen, no existe una solución elemental para $$I=\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}}\int\frac{du}{\cos^{\frac{1}{3}}(u)}$$ pero hay efectivamente una solución usando la función hipergeométrica. Parece ser $$I=-\left(\frac{3}{2}\right)^{2/3} \cos ^{\frac{2}{3}}(u) \, _2F_1\left(\frac{1}{3},\frac{1}{2};\frac{4}{3};\cos ^2(u)\right)$$ donde aparece la gaussiana (a veces llamada ordinaria) función hipergeométrica .

En términos de $x$ la antiderivada es entonces $$I=\int \frac{1}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-2)^2}}\, dx= \sqrt[3]{3(x-2)} \,\,\, _2F_1\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3};\frac{4}{3};\frac{2-x}{3}\right)$$ Volvamos a las definiciones (y a la eliminación de los símbolos de Pochhammer), $$I=\sum_{n=0}^\infty \frac{3^{-4 n} \,\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)\, \Gamma (3 n)}{n!\, \Gamma (n)\, \Gamma \left(n+\frac{4}{3}\right)} (2-x)^n$$

Editar

Los coeficientes de la última expresión varían extremadamente rápido ( el primero es $1$ el décimo es $\approx 1.851\times 10^{-7}$ la centésima es $\approx 1.025\times 10^{-51}$ ). Para grandes valores de $n$ son $$\log(c_n)=-n \log (3)-\frac{4}{3} \log (n)+\log \left(\frac{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)}{2 \sqrt{3} \pi }\right)-\frac{4}{9 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$

Answer 4

¿Qué sustitución es útil para esta integral?

Ninguna. El integrando no posee ninguna antiderivada elemental. Véase Teorema de Liouville

y el Algoritmo Risch para más información. Sin embargo, todos los Definitivamente integrales de lo siguiente

forma: $\displaystyle\int_a^b\Big[(x-x_1)(x-x_2)\Big]^r~dx,$ con $a,b\in\{x_1,x_2,\pm\infty\},$ se puede evaluar en términos de

beta y $\Gamma$ funciones Suponiendo, por supuesto, que converjan en primer lugar. Esto debería

no es de extrañar, dado el hecho de que Mufasa ya ha sido capaz de reescribir el original

como una expresión Wallis integral cuya relación con las funciones especiales antes mencionadas está bien

conocido. Por no mencionar el hecho de que Claude Leibovici serie hipergeométrica también puede ser

expresado en términos de función beta incompleta . Así, para $x_{1,2}=\{-1,2\}$ y $r=-\dfrac23,$

tenemos el siguiente resultado:

$$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty\Big[(x+1)(x-2)\Big]^{-\tfrac23}~dx ~&=~3\int_{-\infty}^{-1}\Big[(x+1)(x-2)\Big]^{-\tfrac23}~dx~=~ \\\\ ~&=~3\int_{-1}^2\Big[(x+1)(x-2)\Big]^{-\tfrac23}~dx~=~ \\\\ ~&=~3\int_2^\infty\Big[(x+1)(x-2)\Big]^{-\tfrac23}~dx~=~ \\\\ ~&=~3\cdot\frac{B\Big(\tfrac13~,~\tfrac16\Big)}{\sqrt[3]{12}} \end{align}$$