Dar un continuo surjective función de la irrationals en $[0,1]$ sobre los racionales en $[0,1]$. Podemos, al menos, probar la existencia de una función de este tipo? Yo no podía ver una función en la parte superior de mi cabeza. Aquí asumimos $[0,1]\setminus\mathbb Q$ con su habitual métrica.
Respuesta
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Deje $I = [0,1]\setminus \mathbb{Q}$, el conjunto de irrationals en la unidad de intervalo.
Partición de $I$ en countably muchos no vacío piezas, cada una determinada por la intersección de un conjunto abierto en $[0,1]$$I$, de tal manera que $I = \cup_{k=0}^\infty I_k$. Por ejemplo,
$I_0 = \left(\frac{1}{2},1\right) \cap I$,
$I_1 = \left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)\cap I$,
y, en general,$I_k = \left(\frac{1}{2^{k+1}},\frac{1}{2^k}\right)\cap I$. Tenga en cuenta que cada una de las $I_k$ está abierto en $I$.
Enumerar $\mathbb{Q}$ (en cualquier forma que te gusta): $\{q_0, q_1, q_2,\dots\}$.
Para cualquier $x\in I$, $x\in I_k$ para exactamente un $k$. Definir $f(x) = q_k$.
Tenga en cuenta que $f$ es surjective, ya que cada una de las $I_k$ es no vacío.
Queremos mostrar que $f$ es continua. Deje $O\subseteq \mathbb{Q}$ ser un conjunto abierto. Podemos escribir $O = \bigcup_{q_k\in O} \{q_k\}$.
$$f^{-1}[O] = \bigcup_{q_k\in O}\,f^{-1}[\{q_k\}] = \bigcup_{q_k\in O} I_k.$$
Esta es una unión de bloques abiertos en $I$, por lo que está abierto.
Tenga en cuenta que no hemos hecho uso de ese $O$ fue un conjunto abierto: nuestra función $f$ es continuo, incluso si le damos a $\mathbb{Q}$ la topología discreta!
