Representación de un funcional lineal en un espacio vectorial

Question

En el libro el Análisis Funcional,Espacios de Sobolev y Ecuaciones Diferenciales Parciales de Haim Brezis tenemos el siguiente lema:

Lema. Deje $X$ ser un espacio vectorial y dejar $\varphi, \varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_k$ $(k + 1)$ lineal funcionales en $X$ tal que $$ [\varphi_i(v) = 0 \quad \forall\; i = 1, 2, . . . , k] \Rightarrow [\varphi(v) = 0]. $$

Entonces existen constantes $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k\in\mathbb{R}$ tal que $\varphi=\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_k\varphi_k$.

En este libro, el autor utiliza la separación teorema a probar este lema. Me gustaría preguntar si se pueden utilizar sólo los conocimientos de álgebra lineal para demostrar este lema.

Gracias por toda la ayuda.

Answer 1

Su hipótesis es que el $\ker{\varphi} \supseteq \bigcap_{i=1}^k \ker{\varphi_i}$.

Considerar el lineal mapa de $\ell \colon X \to \mathbb{R}^k$ $\ell(x) = (\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x))$ y deje $V = \operatorname{im}\ell = \{\ell(x):x \in X\} \subseteq \mathbb{R}^k$ ser la imagen. Tenemos $\ker{\ell} = \bigcap_{i=1}^k \ker{\varphi_{i}} \subseteq \ker\varphi$. Por lo tanto, $\varphi = \tilde{\varphi} \circ \ell$ para algunos lineal funcional $\tilde{\varphi}\colon V \to \mathbb{R}$ [explícitamente, $\tilde{\varphi}(v) = \varphi(x)$ donde $x$ es tal que $\ell(x) = v$. Esto está bien definido y lineal.]

Cada funcional lineal definida en un subespacio $V$ $\mathbb{R}^k$ puede ser extendido a un funcional lineal en todos los de $\mathbb{R}^k$ (escribir $\mathbb{R}^k = V \oplus V^{\bot}$ y el conjunto de la extensión a ser cero en $V^{\bot}$) y cada funcional lineal en $\mathbb{R}^k$ es de la forma $\psi(y) = \sum_{i=1}^k a_i y_i$. Por lo tanto, no se $\lambda_1,\dots,\lambda_k \in \mathbb{R}$ tal que $\tilde\varphi(v) = \sum_{i=1}^k \lambda_i v_i$ todos los $v \in V$. En otras palabras, $\varphi = \sum_{i=1}^k \lambda_i \varphi_i$.

Answer 2

Mira Rudin del "Análisis Funcional" Lema 3.9. El único problema que veo es que la prueba requiere que la extensión de un funcional de un subespacio de un espacio de dimensión finita a la totalidad del espacio de dimensión finita, pero esto es puramente algebraica por lo que puedo ver.