Ecuaciones diferenciales sin soluciones analíticas

Question

En muchas charlas, he escuchado a la gente decir que la ecuación diferencial que les interesa no tiene solución analítica. ¿Realmente quieren decir eso? Sí, eso es:

¿Puede probar que una ecuación diferencial no tiene solución analítica?

Sospecho que lo que quieren decir es que nadie ha sido capaz de derivar uno, pero podría estar equivocado. También tengo una pregunta relacionada con el caso anterior.

¿Cuáles son algunos ejemplos sencillos de ecuaciones diferenciales sin solución analítica conocida?

Los cursos de ecuaciones diferenciales en mi universidad se basan en el método (identificar el DE y usar el método proporcionado) lo cual está completamente bien. Sin embargo, me gustaría tener algunos ejemplos que parezcan fáciles (o que se parezcan a aquellos para los cuales los métodos dados funcionarán) para mostrar a los estudiantes que no todas las ecuaciones diferenciales se resuelven tan fácilmente.

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Añadido más tarde: Teniendo en cuenta los comentarios, supongo que el tipo de ecuaciones diferenciales que busco en la segunda pregunta son las que, por el momento, sólo pueden ser resueltas mediante métodos numéricos (lo que, como señala Emmad Kareem, sería una buena motivación para aprender tales métodos).

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El tipo de cosas que estoy buscando: Estaba hablando con mi amigo que hace mecánica de fluidos y me sugirió la ecuación de Blasius $$f''' + \frac {1}{2}ff'' = 0.$$ Aparte de $f(x) = ax + b$ no hay soluciones analíticas conocidas (hasta donde él sabe).

Answer 1

Tomemos el problema de valor inicial $$y'=\cases{x\bigl(1+2\log|x|\bigr)\quad &$ (x \ne0 ) $ \cr 0&$ (x=0) $\cr}\ ,\qquad y(0)=0\ .$$ Este ejemplo cumple obviamente los supuestos del teorema de existencia y unicidad, por lo que existe exactamente una solución. Como se puede comprobar fácilmente, esta solución viene dada por $$y(x)=\cases{x^2\>\log|x|\quad&$ (x \ne0 ) $\cr 0&$ (x=0) $\cr}\ .$$ Esta función no es analítica en ninguna vecindad de $x=0$ .

Answer 2

Hay algo peor que no tener una solución analítica. Pour-El y Richards encontraron una ecuación diferencial ordinaria $\phi'(t)=F(t,\phi(t))$ con $F$ computable y sin solución computable. Una referencia es Marian Boykan Pour-El e Ian Richards, A computable ordinary differential equation which possesses no computable solution, Ann. Math. Logic 17 (1979), no. 1-2, 61-90, MR0552416 (81k:03064).

Answer 3

Sí, puede ser se muestra que las ecuaciones diferenciales no tienen soluciones analíticas, utilizando la teoría diferencial de Galois. Un ejemplo es la oda lineal de segundo orden $y''+ x y' = 0$ este debería ser un buen ejemplo para tus propósitos, ya que sólo difiere ligeramente de las odas lineales de segundo orden con coeficientes constantes que se resuelven fácilmente.

PD: Supongo que entiendes la diferencia entre que la oda no tenga solución analítica y que no tenga solución alguna.

Answer 4

Una pista: He publicado un ejemplo aquí en MO para una Ecuación diferencial que no tiene solución analítica que es : $\displaystyle \ f'={e}^{{f}^{-1}}$ . con una buena respuesta para la no existencia de una solución analítica por Christian Remling

Answer 5

Por ejemplo, ¿por qué no empezar con la primera ecuación diferencial de la historia, la DE de Newton para la caída de objetos, derivada en la clase de física del instituto? $$A = \frac{G M_{earth}}{R^{2}}.$$ Es el pequeño secreto de las universidades que la mayoría de las ecuaciones diferenciales que describen el mundo real (no lineal) no son resolubles. Así que no te dicen en el instituto que la ecuación no es resoluble. No te lo dicen en tu clase de física de la universidad (he comprobado el texto que utiliza mi U local), ni siquiera en la clase de mecánica clásica (este texto señala que una ecuación modificada es resoluble y que se puede "invertir" para obtener una solución, pero no mencionan que la "inversión" no es cerrada, es decir, es un procedimiento de aproximación).