Es engañoso pensar de rango-2 tensores como matrices?

Question

De haber recogido un entendimiento rudimentario de los tensores de lectura mecánica de los papeles y la Wikipedia, tiendo a pensar que el rango de 2 tensores simplemente como matrices cuadradas (junto con las correspondientes reglas de transformación). Sin duda, si la distinción entre los vectores y vectores duales se omite, un tensor de rango 2 $T$ parece ser simplemente una aplicación multilineales $V \times V \rightarrow \mathbb{R}$, y (creo que) cualquier mapa puede ser representado por una matriz $\mathbf{A}$ mediante la asignación de $(\mathbf{v},\mathbf{w}) \mapsto \mathbf{v}^T\mathbf{Aw}$.

Mi pregunta es esta: ¿Es esta una manera de pensar acerca de las cosas, al menos mientras estás trabajando en $\mathbb{R}^n$? Hay problemas evidentes o sutiles malentendidos que este enfoque ingenuo puede causar? No se rompen cuando se trata de algo distinto de $\mathbb{R}^n$? En definitiva, es "moralmente equivocado"?

Answer 1

No es engañosa, ya que el tiempo que usted cambie su noción de equivalencia. Cuando la matriz que representa una transformación lineal $V \a V$, la correcta noción de equivalencia es la similitud: $M \simeq B^{-1} MB$ donde $B$ es invertible. Cuando la matriz representa una forma bilineal $V \times V \to \mathbb{R}$, la correcta noción de equivalencia es la congruencia: $M \simeq B^TMB$ donde $B$ es invertible. Mientras se mantenga esta distinción en mente, estás bien.

Answer 2

Tienes toda la razón.

Tal vez alguien lo encontrará útil un par de observaciones contar la misma historia en coordinar manera:

• Lo que sucede aquí es, de hecho, la identificación del espacio con su doble: así que un bilineal mapa $T\colon V\times V\to\mathbb{R}$ se reescribe como $V\times V^*\to\mathbb{R}$, que es exactamente la misma cosa que un operador lineal $A\colon V\a V$;

• Identificación de los $V$ y $V^*$ es exactamente la misma cosa que un producto escalar en $V$, y el uso de este producto escalar se puede escribir $T(v,w)=(v,Aw)$;

• De modo ortogonal de cambio de base, se conserva este de identificación - en términos de Qiaochu del Yuan respuesta uno puede ver esto en el hecho de que para ortogonal de la matriz $B^T=B^{-1}$ (moraleja de la historia: si usted tiene un canónica producto escalar, no hay ninguna diferencia entre $T$ y $Una$ de cualquier tipo; y si usted no tiene uno - Qiaochu del Yuan respuesta.)